벡터의 뜻과 덧셈, 뺄셈
벡터의 뜻
벡터(vector)는 크기요소와 방향요소를 가진 수학적 양(量)입니다. 보통의 양은 크기 요소만 가지고 있습니다.
예를 들어 100원은 벡터량이 아닙니다.
그러나, 다른 이에게서 '100원 빌다.'
또는, 다른 이에게 '100원 빌려주다.'라고
하면 이들 양은 각각 -100원, +100원으로
나타낼 수 있는 벡터량이라고 할 수 있습니다.
벡터량과 구별하여 크기만으로 나타내는 양을 스칼라(scalar)량 이라고 합니다. 앞에서 100원은 스칼라량입니다.
벡터의 표시
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(그림1) |
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(그림2) |
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(그림3) |
화살표를 써서 벡터의 크기와 방향을 그림으로 쉽게 표현할 수 있습니다. 화살표의 길이는 벡터의 크기를 화살표의 방향은 벡터의 방향을 나타냅니다.
벡터는 수직선 위에 존재하는 1차원 벡터, 평면 위에 존재하는 2차원벡터, 공간에 존재하는 3차원벡터로 나눌 수 있습니다.
오른쪽 그림에서 점 O와 P를 각각 벡터 OP의 시점과 종점이라고 합니다.
벡터의 성분 표시
또한 벡터는 순서쌍으로도 나타낼 수 있습니다. 1차원 벡터를 나타내는 순서쌍의 요소는 +, -가 붙어 있는 한 개의 수 입니다. 2차원 벡터를 나타내는 순서쌍의 요소는 x성분, y성분을 나타내는 두 개의 수입니다. 3차원 벡터를 나타내는 순서쌍의 요소는 x, y, z성분을 나타내는 세 개의 수 입니다.
오른쪽 그림의 벡터양은 각각 
=
(+100), 
= (-100), 
=
(3, 4), 
= (3, 4, 5)로
나타내어 집니다.
변위벡터
벡터 AB는 점 A를 점 B로
옮기는 점의 이동입니다. 벡터 AB를
점의 위치가 A에서 B로 변화되었다고 생각하여 변위벡터
AB 라고 말합니다.
위치벡터
또, 수직선이나 평면 또는 공간 안에 존재하는
한 점 P에 원점 O를 시작점으로 하는 한 개의 벡터 OP를
대응시키고, 이 때의 벡터를 점 P의 위치벡터라고
말합니다.
위의 (그림2)와 (그림3)에서,
벡터OP는 각각 평면 위의 점 P(3, 4)와 공간 안의 점 P(3, 4, 5)에
대응하는 위치벡터 입니다.
같은 벡터 (벡터의 상등)
크기와
방향이 같은 벡터는 서로 같다(相等)라고
말합니다. 오른쪽 그림에서 벡터 AB와 벡터 CD는 서로 같은
벡터입니다.
또한, 벡터 등식 
는
벡터 PQ는 벡터 RS와 방향이 같고 크기가 2배인
벡터임을 나타냅니다. 마찬가지로 등식 
는
벡터 의 크기는 의
크기의 3배이고 방향이
반대임을 나타내는 식 입니다.
벡터의 덧셈
수학적으로
벡터는 점의 이동으로 생각할 수
있습니다. 점 A를 B로 옮기고 다시 B를 C로 옮기는 이동을 
라고
나타내기로 합니다. 이렇게 생각하면 
는
점 P가 Q, R을 지나 점 S에 도착했음을 나타냅니다.
벡터의 뺄셈
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점 A를 B로 옮기는 이동을 
라고
나타내면, B를 A로 옮기는 이동은 
라고
표현할 수 있습니다.이 때의 벡터 BA를 벡터 AB의 역벡터
라고 말합니다.
역벡터는 원래의 벡터와 크기는 같으나 방향이 반대인 벡터입니다.
이제 벡터의 뺄셈에 대하여 생각해보기로 합니다.
점 A를 중간지점 O를 지나 점 B로 옮겼다고 하면, 이 때의
식은 
이 됩니다.
여기서 벡터 AO는 벡터 OA의 역벡터 이므로 
로
나타낼 수 있습니다.
즉, 
입니다.
이 
으로
되는 것은 보통의 계산 에서 a + b = c이 b = c - a로 되는
것과 같은 이치입니다.
☞ 정리하여 두세요!
- 벡터는 점의 이동