일차변환으로 도형 옮기기

1. 의 역행렬이 존재할 때의 도형의 이동
일차변환 f 의 역행렬이 존재하면 = ⇔ = 이 성립하므로 점 (x,y) 와 점 (x′,y′) 는 1 : 1 로 대응한다.
예를 들어, 행렬 로 주어진 일차변환 f 에 의해서 직선 x+y+1=0 위의 모든 점이 직선 x-y+1=0 위의 점으로 옮겨진다고 할 때, 상수 a, b 를 구해보자.
대응 (x,y) (x′,y′) 에서 점 (x,y) 는 직선 x+y+1=0 …㉠ 위의 점이고 점 (x′,y′)은 직선 x-y+1=0 …㉡ 위의 점이므로 x′=ax+y, y′=x+by 를 ㉡에 대입하면 (ax+y)-(x+by)+1=0 ⇔ (a-1)x+(1-b)y+1=0 …㉢ 이 된다. ㉠과 ㉢은 같은 식이므로 두 식의 계수를 비교하여 a-1=1, 1-b=1 를 얻을 수 있다. 따라서 a=2, b=0 이다.^^

☞ 위의 그림에서 일차변환 은 x+y+1=0 위의 점 (1,-2) 을  x-y+1=0 위의 점 (0,1) 에 대응
    시키는 것을 알 수 있습니다. ^^

2. 의 역행렬이 존재하지 않을 때의 도형의 이동
일차변환 f 의 역행렬이 존재하지 않을 때의 행렬은 꼴이다. 이 때, = ⇔ x′=ax+by, y′=k(ax+by) ⇔ y′=kx′ 이 성립하므로 행렬 로 주어진 일차변환은 평면 위의 점 (x,y) 을 항상 y=kx 위의 점에 대응시킨다.
예를 들어, 행렬 로 주어진 일차변환에 의해서 직선 x+y+1=0 위의 모든 점이 직선 2x-y=0 위의 점으로 옮겨질 때 상수 a, b 를 구해보자.
이 존재하면 직선 2x-y=0…㉠ 위의 모든 점이 직선 x+y+1=0 …㉡ 위의 점으로 옮겨져야 한다. 원점 O는 ㉠위의 점이고, 일차변환은 항상 원점 O를 원점 O 에 대응시키므로 원점은 ㉡위에 있어야 한다. 그런데 O는 ㉡ 위의 점이 아니다. 그러므로 는 존재하지 않고 D=0 ⇔ b-2a=0 이다.
또 =에서 점 (x+2y, ax+by) 는 직선 y=2x 위의 점이므로 모든 x, y 에 대하여 ax+by=2(x+2y) 이 성립해야 한다. 따라서 a=2, b=4 이다.

☞ 오른쪽 그림은 직선 x+y+1=0 위의 한 점 (2,-1) 이 일차변환에 의해서
    원점 O 에 대응 하는 것을 보입니다. ^^

일차변환 f 의 역행렬이 존재하지 않을 때, 어떤 직선은 오직 한 개의 점에 대응하기도 한다.

예를 들어 는 직선 x+2y=1 위의 모든 점을 오직 한 개의 점 (1,2) 에 대응시킨다. 일반적으로 일차변환 에 의해 직선 ax+by=p 위의 모든 점은 한 개의 점 (p,kp) 에 대응한다.^^

☞ 오른쪽 그림은 x+2y=k 꼴의 직선이 같은 색으로 나타낸 한 점
    에 대응하는 것을 보이는 그림입니다. ^^

　

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