일차변환의 뜻과 성질

1. 일차변환의 뜻

정해진 규칙에 따라 점 (x,y) 를 점 (x′, y′)으로 옮기는 점의 이동을 변환 f 라 하고  f : (x, y) → (x′, y′) 라고 나타냅니다.

x′=ax+by, y′=cx+dy 와 같이 옮겨진 점의 좌표 (x′, y′)가 원래의 좌표 (x, y) 에 대한 상수항이 0 인 일차식으로 표현될 때의 변환 f 를 특별히 일차변환(linear transformation)이라 합니다.

예를 들어 f : (x,y) → (x+y, x-y) 는 일차변환 이고 f 는 점 (1,2) 을 점 (3,-1)으로 옮깁니다.^^

2. 일차변환의 식과 일차변환의 행렬

일차변환 f:(x,y) → (ax+by, cx+dy) 에서 ⇔ =와 같은 식을 얻을 수 있는 데, 이 식을 일차변환의 식이라 하고 이 때의 행렬 을 일차변환 f 의 행렬이라고 합니다. 예를 들어 일차변환 f : (x,y) → (x+y, x-y) 는 ⇔ =이 됩니다.^^

3. 일차변환의 성질

일차변환 f :(x,y) → (ax+by, cx+dy) 의 행렬을 T=라 하고 P=, Q=라 하면
 f(P)=TP, f(Q)=TQ 이므로 일차변환 f 는 다음과 같은 성질을 가집니다.

　

1) f(P+Q)=f(P)+f(Q) ← f(P+Q)=T(P+Q)=TP+TQ=f(P)+f(Q)
2) f(kP)=kf(P)           ← f(kP)=T(kP)=k(TP)=kf(P)

　

☞ =, =이므로 f : (1,0) → (a,c) 이고 f : (0,1) → (b,d) 이면
    일차변환 f 의 행렬은 T=가 됩니다.^^

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