(답) ⑤

1) x²-x+1/4 = (x-1/2)² ≥ 0 (등호는 x = 1/2 일 때 성립) …㉠
2) x²-x+1/2 = (x-1/2)²+1/4 > 0
3) x²-x+1/4 ≥ 0 에 x 대신 x² 을 대입 → x⁴-x²+1/4 ≥ 0 (등호는 x² = 1/2 일 때 성립) …㉡
4) ㉠, ㉡ 을 변 끼리 더하면 (x²-x+1/4)+(x⁴-x²+1/4) > 0 ⇔ x⁴-x+1/2 > 0 ^^

직사각형 ABCD 의 두 변 AB, BC 와 대각선 AC 에 접하는 원의 중심을 O 라고 하자. 직사각형 OPDQ 와 직사각형 ABCD 의 넓이의 비는?

① 1 : 2

② 2 : 3

③ 3 : 4

④ 4 : 5

⑤ 5 : 6

(답) ①

1) AB = x, BC = y 라 하면 → AC=
2) 원의 반지름 r → 2r = x+y- ⇔ {2r-(x+y)}²=x²+y² ⇔ 4r²-4(x+y)r+2xy =0 …㉠
3) ABCD 의 넓이 S = xy
4) OPDQ 의 넓이 S' = (x-r)(y-r) = xy-(x+y)r+r²
5) ㉠ 에서 -(x+y)r+r²=-(1/2)xy 이므로 S' = xy- (1/2)xy = (1/2)xy    ∴ S' =(1/2)S ^^

(답) ⑤

1) p=log₂3, q=log₃5 ← a^x=b ⇔ x=log_ab
2) pq = (log₂3)(log₃5) = log₂5 ← (log_ab)(log_bc) = log_ac
3) 1/pq = 1/(log₂5) = log₅2 ← log_ba = 1/(log_ab) ⇔ (log_ab)(log_ba) = 1
4) 5^1/pq = 5^log5² = 2 ^^ ← a^loga^b = b^loga^a = b

AB=3, BC=4 인 삼각형 ABC 의 넓이의 최대값은?

① 5

② 5

③ 6

④ 6

⑤ 7

(답) ③

1) S = (1/2)×AB×BC×sin(∠ABC) = 6sin(∠ABC)    ☞ 관련사항을 참조하세요! ^^
2) ∠ABC = 90° 일 때, sin(∠ABC) 의 최대값 = 1    ∴ 삼각형 ABC 의 넓이의 최대값 = 6 ^^

한 변의 길이가 2 인 정사각형 ABCD 가 있다. 변 AD 위를 움직이는 점 P 에 대하여 BP×CP 의 최소값을 구하면?

① 5

② 4

③ 6

④ 7

⑤ 6

(답) ①

1) △BPC 의 넓이 S = (1/2)×BP×PC×sin(∠BPC)
2) S=2 로 일정하므로 sin((∠BPC) 가 최대일 때, BP×CP 는 최소
3) BC/sin(∠BPC) = 2R ⇔ 2/sin∠BPC) = 2R ← 사인법칙 a/sinA = 2R
4) sin(∠BPC) = 1/R
5) P 가 AD 의 중점에 있을 때 R 은 최소이고 sin(∠BPC) 은 최대
6) 이 때, BP=CP = 이므로 BP×CP 의 최소값 = 5 ^^

☞ 관련사항을 참조하세요! ^^