PROBLEMS 20.1027 All-round check (16-5)

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MathCounts 문제

1. 양의 정수 n 을 3 으로 나눈 나머지를 f(n), 5 로 나눈 나머지를 g(n) 이라고 나타내기로 한다.
   f(g(n))=1 을 만족하는 두 자리 양의 정수 n 은 몇 개 존재하는가?
   
   

   ① 35

   ② 36

   ③ 37

   ④ 38

   ⑤ 39

(답) ②

1) f(g(n))=1 → g(n) 을 3 으로 나눈 나머지는 1
2) g(n) = 0, 1, 2, 3, 4 이므로 g(n) = 1, 4
3) g(n) = 1 → n = 5k+1 에서 k = 2,3,4, …, 19 (18개)
4) g(n) = 4 → n=5k+4 에서 k=2,3,4, …, 19 (18개)    ∴ 18+18 = 36 (개) ^^




2. 그림과 같이 평행한 세 직선이 있다. 평행선 사이의 거리가 각각 a, b일 때, 평행선 위에 세 개의 꼭지점이 놓인 정사각형의 넓이는?
   
   

   ① ab	② 2ab	③ a2+b2
   ④ a2-ab+b2	⑤ a2+ab+b2

(답) ③

1) 그림에서 어두운 두 직각삼각형은 합동
2) 두 직각삼각형의 빗변의 길이 →

∴ 정사각형의 넓이 = a²+b² ^^




3. log25 와 log800 의 지표의 합을 p, 가수의 합을 q 라 할 때, p^q 은?
   
   

   ① 2log2

   ② 2log3

   ③ 2log5

   ④ 20log2

   ⑤ 20log3

(답) ⑤

1) log25 = log(10×2.5) = 1+log2.5 → 지표=1, 가수=log2.5
2) log800 = log(10²×8) = 2+log8 → 지표=2, 가수=log8
3) p = 3, q = log2.5+log8 = log20 → p^q = 3^log20 = 20^log3 ^^  ☞ a^logb^C = c^logb^a

☞ 관련사항을 참조하세요! ^^




4. 다음은 자연수 n 에 대하여 의 최소값을 구하는 과정이다. 안에 알맞은 수를 차례로 적으면?
   
   

   f(n)=라 놓고, f(n+1)-f(n) 의 부호를 조사하면 n≤ 일 때, f(n) > f(n+1) n≥ 일 때, f(n) < f(n+1) 이므로 f(n) 의 최소값은 이다.

   
   
   

   ① 9, 10, 19.9	② 9, 9, 20	③ 10, 10, 20
   ④ 10, 11, 19.9	⑤ 11, 11, 20

(답) ①

1) f(n+1)-f(n) = ()-() = 1-
2) n=9 일 때, n(n+1) = 90 → n=1,2,3, …,9 일 때, f(n+1)-f(n) < 0 ⇔ f(n) > f(n+1) …㉠
3) n=10 일 때, n(n+1) = 110 → n=10,11,12, … 일 때, f(n+1)-f(n) > 0 ⇔ f(n) < f(n+1) …㉡
4) ㉠, ㉡ 에서 f(1)>f(2)>f(3)>…>f(9)>f(10)<f(11)<f(12)<f(13)<…
5) 최소값은 f(10) = 10 + 99/10 = 19.9 ^^




5. 1≤r≤2, 0≤θ≤π 일 때, x=rcosθ, y=rsinθ 를 만족하는 점 P(x,y) 가 존재하는 영역의 넓이는?
   
   

   ① π

   ② 1.5π

   ③ 2π

   ④ 2.5π

   ⑤ 3π

(답) ②

1) OP=r, OP 가 x 축의 양의 방향과 이루는 각을 θ라 하면 …
2) cosθ=x/r, sinθ=y/r ⇔ x=rcosθ, y=rsinθ ← 일반각의 삼각함수의 정의 ^^
3) 점 P(x,y) 가 존재하는 영역 → 그림의 어두운 부분
4) 영역의 넓이 S = (4π-π)/2 = 1.5π ^^

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