PROBLEMS 20.1026 All-round check (16-5)

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MathCounts 문제

1. x의 부등식 ax²+(a+1)x+a>0 을 만족하는 실수 x 가 존재하도록 상수 a 를 정한다. 다음 중 a 의 값으로  적당하지 않은 것은?
   
   

   ① 0

   ② 0.2

   ③ -0.2

   ④ 2

   ⑤ -2

(답) ⑤

i) a=0 → x>0 이므로 부등식을 만족하는 x 가 존재
ii) a>0 → y=ax²+(a+1)x+a 의 그래프가 위로 오목하므로 y>0 인 x 가 존재
iii) a<0 일 때, D=(a+1)²-4a²>0 ⇔ -(1/3)<a<1 에서 -(1/3)<a<0

i), ii), iii) 에서 a≥-(1/3) ^^




2. AB=3, BC=4 인 직사각형 ABCD 가 있다. AD의 중점을 M, BM의 연장과 CD의 연장과의 교점을 E, BD와 CM의 교점을 P 라 할 때, △EMP의 넓이는?
   
   

   ① 2	② 3	③ 4
   ④ 5	⑤ 6

(답) ①

1) P 는 △EBC 의 무게중심 ← BD, CM 은 △EBC 의 중선
2) △EBC 의 넓이 = 12 ← BC=4, ED=DE=3
3) △EMP = (△EBC)/6 = 2 ^^




3. -3≤x≤2 일 때, log_0.5(|x-1|+4) 의 최대값을 M, 최소값을 m 이라 할 때 M+m 은 ?
   
   

   ① -1

   ② 2

   ③ -3

   ④ 4

   ⑤ -5

(답) ⑤

1) -3≤x≤2 일 때, 4≤|x-1|+4≤8 ← x=1 일 때 최소값 4, x=-3 일 때 최대값 8
2) log_0.54 = log₂-12² = -2 ← log_anb^m = (m/n)log_ab
3) log_0.58 = log₂-12³ = -3
4) 로그함수는 단조함수 이므로 최대값 M=-2, 최소값 m=-3    ∴ M+m = -5 ^^

☞ 관련사항을 참조하세요! ^^




4. x>1 일 때, 오른쪽 그래프를 이용하여 부등식 2^x-1 < (x-1)² 의 해를 구하면 a<x<b 이다. 이 때, ab 는?
   
   

   ① 6	② 12	③ 15
   ④ 18	⑤ 20

(답) ③

1) 2^x-1 < (x-1)² 의 양변에 밑이 2 인 로그를 잡으면 → x-1 < 2log₂(x-1)
2) 그림에서 (1/2)x < log₂x ⇔ 2<x<4
3)  x < 2log₂x ⇔ 2<x<4  → x 대신 x-1 을 대입하면 x-1 < 2log₂(x-1) ⇔ 2 < x-1< 4
4) x-1 < 2log₂(x-1) ⇔ 3<x<5 이므로 2^x-1 < (x-1)² 의 해는 3<x<5 ^^




5. 품질이 좋은 사과와 품질이 보통인 사과의 한 개당 가격차는 60원 이다. 품질이 좋은 사과만을 넣은 상품사과 한 상자의 가격은 7000원, 품질이 좋은 것과 보통인 것을 3 : 2 의 비율로 섞어 만든 중품사과 한 상자의 가격은 6400원이다. 상품사과상자와 중품사과상자에 들어 있는 사과의 개수가 같을 때, 품질이 좋은 사과 한 개의 가격은 얼마인가?
   
   

   ① 280

   ② 290

   ③ 300

   ④ 310

   ⑤ 320

(답) ①

상품사과 상자에 사과가 a 개, 중품사과 상자에 사과가 5b 개 들어 있다 하고, 품질이 좋은 사과 한 개의 가격을 x 원 이라 하면

1) 상자에 들어 있는 사과의 개수는 같으므로 a = 5b
2) 상품사과 상자 → ax = 7000 (원)
3) 중품사과 상자 → 3bx+2b(x-60) = 6400 (원) ⇔ 5bx-120b=6400 ⇔ ax-120b=6400
4) ax-120b=6400 ⇔ 7000-120b=6400 에서 b=5 이므로 a=25
5) ax=7000, a=25 에서 x = 7000/25 = 70×4 = 280 (원) ^^

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