PROBLEMS 20.1025 All-round check (16-4)

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MathCounts 문제

1. 오른쪽 그림은 A 역에서 54km 떨어진 B 역까지 화물열차와 여객열차가 달린 시간과 거리를 나타낸 그래프이다. 여객열차는 화물열차보다 5 분 늦게 A 역을 출발하여 도중에 정차한 화물열차를 추월하여 B 역에 도착하였고, 그로부터 30분 후에 화물열차도, 정차하기 전의 속력과 같은 속력으로 달려, B 역에 도착 하였다. 화물열차가 도중에 정차한 시간은 몇 분인가?
   
   

   ① 21 분	② 22 분	③ 23 분
   ④ 24 분	⑤ 25 분

(답) ③

1) 화물열차의 속력 → 18km/6분 = 3 (km/분)
2) 여객열차의 속력 → 18km/2분 = 9 (km/분)
3) 여객열차의 운행을 생각할 때의 시간 → 5 + 54/9 + 30 = 41 (분) …㉠
4) 화물열차의 운행을 생각할 때의 시간 → 54/3 + x = 18+x (분)…㉡
5) ㉠, ㉡ 은 값이 같으므로 41 = 18+x    ∴ x = 23 (분) ^^




2. 오른쪽 그림은 f(x) = log_ax (a>1) 의 그래프이다. 모든 양수 x 에 대하여 g(f(x)) = x 가 성립할 때, g(5) 은?
   
   

   ① m+n	② 2m	③ 3n
   ④ mn	⑤ 6mn

(답) ④

1) g(f(x)) = x → f 와 g 는 서로 역함수
2) g(x) = a^x 에서 g(5) = a⁵ ← log_ax= y 의 역함수 ⇔ log_ay = x ⇔ y = a^x
3) log_am =2, log_an = 3 에서 log_amn = 5 ⇔ a⁵ = mn ^^




3. 실계수 이차방정식 x²+px+q=0 의 두 근 α, β 가 log(α+β) = logα+logβ 를 만족할 때, p 의 최대값은?
   
   

   ① 1

   ② -2

   ③ 3

   ④ -4

   ⑤ 5

(답) ④

1) log(α+β) = logα+logβ ⇔ α+β = αβ, α>0, β>0
2) p²-4q≥0, -p>0, q>0 ← α>0, β>0 ⇔ D≥0, α+β>0, αβ>0
3) p²-4(-p)≥0 ⇔ p(p+4)≥0 ⇔ p≤-4 또는 p≥0 …㉠
4) p<0 이므로 ㉠ 에서 p≤-4    ∴ p 의 최대값은 -4 ^^




4. (1-log₂₀x)(log₁₀x) = log₂₀x 모든 근의 합은?
   
   

   ① 3

   ② 4

   ③ 5

   ④ 10

   ⑤ 20

(답) ①

1) (1-log₂₀x)(log₁₀x) = log₂₀x ⇔ (1-log₂₀x)= log₂₀x   ☞ 관련사항을 참조하세요! ^^
2) (1-log₂₀x)(log₂₀x) = (log₂₀10)(log₂₀x) ⇔ log₂₀x = 0 또는 1-log₂₀x = log₂₀10
3) log₂₀x = 0 에서 x=1
4) log₂₀x = 1- log₂₀10 ⇔ log₂₀x = log₂₀20-log₂₀10 ⇔ log₂₀x = log₂₀2 에서 x=2




5. 이웃 두 내각의 크기의 비가 2 : 1 이고 AB=4, BC=6 인 평행사변형 ABCD 가 있다. 평행사변형의 내각의 이등분선이 만드는 사각형 PQRS 의 넓이는?
   
   

   ① 1	②	③ 2
   ④ 3	⑤ 2

(답) ②

1) 평행사변형의 내각 → 120°, 60°
2) 그림에서 사각형 PQRS → 직사각형
3) AQ = 2, AR=3 → QR=1
4) BP=3, BQ=2→ PQ=
5) 사각형 PQRS 의 넓이 = ^^

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