PROBLEMS 20.1024 All-round check (16-3)

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MathCounts 문제

1. A, B, C, D 네 명의 학생 중 두 명은 인문계에 지원하고, 나머지 두 명은 각각 자연계와 인문계에 한 명씩 지원하였다. 다음 세 가지 사실이 성립할 때, 바르게 추론한 것은?
   
   

   I. A 는 나머지 세 학생과 다른 계열에 지원하였다. II. B 와 C 는 서로 다른 계열에 지원하였다. III. C 와 D 는 서로 다른 계열에 지원하였다.

   
   ① A 는 인문계에 지원하였다.
   ② B 는 인문계에 지원하지 않았다.
   ③ C 는 자연계에 지원하였다.
   ④ D 는 예체능계에 지원하지 않았다.
   ⑤ B 와 D 는 서로 다른 계열에 지원하였다.
   

(답) ④ → 그림참조! ^^





2. 넓이가 64 인 정사각형 ABCD의 변 AD 위에 점 E 를 잡고, 변 DC 의 연장선 위에 BE⊥BF 가 되도록 점 F 를 잡았더니 삼각형 EBF 의 넓이가 50 이 되었다. 이 때, 선분 CF 의 길이는?
   
   

   ① 4	② 5	③ 6
   ④ 7	⑤ 8

(답) ③

1) AE=CF, ∠ABE=∠CBF 이므로 …
2) △ABE≡△CBF → BE=BF
3) △EBF 의 넓이=50 → BE=BF=10
4) CF² = 10²-8² = 36    ∴ CF = 6 ^^




3. 0 이 아닌 실수 a, b, c, d 가 a²b+c²d=0, ab²+cd²=0 을 만족시킬 때, 다음 중 a³+c³ 과 값이 항상 같은 것은?
   
   

   ① 0	② ac	③ bd
   ④ ac+bd	⑤ bc+ad

(답) ①

1) a²b+c²d=0 → a²b = -c²d …㉠
2) ab²+cd²=0 → ab² = -cd² …㉡
3) ㉠, ㉡ 을 변끼리 곱하면 a³b³ = c³d³ ⇔ ab = cd ← a,b,c,d 는 실수
4) a²b+c²d=0 ⇔ ab(a+c)=0 에서 a+c=0 ← ab≠0

∴ a³+c³ = a³+(-a)³ = 0 ^^    ☞ x, y 가 실수일 때, x³=y³ ⇔ x=y




4. 전선의 전기저항은 그 단면의 넓이에 반비례하고, 그 길이에 비례한다. 전기저항이 100 Ω 인 전선을 굵기가 균일하게 늘여 길이를 두 배로 하면 전선의 전기저항은 몇 Ω 이 되는가?
   
   

   ① 200

   ② 250

   ③ 300

   ④ 400

   ⑤ 500

(답) ④

1) 전선의 전기저항 R ∝  l/S ← 전선의 단면의 넓이 S, 길이 l
2) 전선의 부피 V = Sl
3)  V 가 일정하므로 → l 이 2 배가 되면 S 는 1/2 배    ∴ 전선의 전기저항은 4 배 ^^





5. 그림과 같이 삼각형 ABC 의 내부에 AP=3, BP=4, CP=5 가 되도록 점 P 를 잡았더니 선분 AP, BP, CP 에 의해서 삼각형의 넓이가 삼등분 되었다. 이 때, AC 의 길이는?
   
   

   ①

   ② 2

   ③ 7

   ④ 8

   ⑤ 9

(답) ②

1) P 는 삼각형 ABC의 무게중심
2) PM = 2 ← 무게중심은 중선을 2 :1 로 내분
3) 삼각형 APC 에서 AP²+CP² = 2(PM²+AM²) ← 중선정리
4) 3²+5² = 2(2²+AM²) ⇔ 34 = 2(4+AM²) ⇔ AM² = 13

∴ AC = 2AM = 2 ^^    ☞ 관련사항을 참조하세요! ^^

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