PROBLEMS 20.1002 All-round check (16-2)

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MathCounts 문제

1. U={a,b,c,d}, A={a,c}, B={b,c} 일 때, (A∩X)⊂(B∩X) 이 성립한다. 다음 중 반드시 참인 것은?
   
   

   ① a∈X

   ② b∈X

   ③ c∈X

   ④ aX

   ⑤ bX

(답) ④ → 그림 참조 ^^

☞ a∈X 이면 a∈(A∩X), a(B∩X) 이므로 (A∩X)(B∩X)




2. 저장 창고에 들어있는 어떤 저장물의 가격이 매일 현재 가격의 5% 씩 오르고 있다. 그런데 이 저장물은 변질되기 쉬워서 하루가 지날 때마다 현재 양의 2% 씩 팔 수 없는 물건이 된다. 최대의 이익을 얻으려면 며칠 후에 저장물을 팔아야 하는가?
   
   

   ① 5일 후

   ② 10일 후

   ③ 15일 후

   ④ 20일 후

   ⑤ 30일 후

(답) ③

1) 현재의 가격 = a 라고 … → x 일 후의 가격 = a(1+0.05x)
2) 현재 팔 수 있는 양 = b 라고 … → x 일 후 팔 수 있는 양 = b(1-0.02x)
3) x 일 후 판매금액 = ab(1+0.05x)(1-0.02x) → (1+0.05x)(1-0.02x) 이 최대가 되어야 …
4) f(x)=(1+0.05x)(1-0.02x) 라고 놓으면 … → x=15 일 때 f(x) 는 최대. ^^





3. 두 직선 ax+by=1 과 x+y=1 이 제1 사분면에서 만날 때, 다음 중 옳은 것은?
   
   

   ① a>0 이면 b>0	② a<0 이면 b<0	③ a>1 이면 b>1
   ④ a<1 이면 b<1	⑤ a>1 이면 b<1

(답) ⑤

1) x+y=1 의 x 축, y축 과의 교점 → (1,0), (0,1)
2) 점 (1,0), (0,1) 이 ax+by-1=0 에 의해 나뉘어진 영역의 반대쪽에 존재해야 …
3) (1,0) 을 ax+by-1 에 대입 → a-1
4) (0,1) 을 ax+by-1 에 대입 → b-1
5) a-1 과  b-1 은 부호가 반대 → (a-1)(b-1) < 0 ^^    ☞ 관련사항을 참조하세요!




4. f(x) = 4^x+2^x+1+1 의 역함수를 g(x) 라 할 때, g(100) 은?
   
   

   ① log23

   ② log25

   ③ log27

   ④ log29

   ⑤ log210

(답) ④

1) f(x) = 4^x+2^x+1+1 = (2^x+1)²
2) (2^x+1)² = y 라고 놓으면 역함수의 식은 → (2^y+1)² = x ⇔ 2^y+1 = (∵ 2^y+1>0)
3) 2^y+1 =⇔ 2^y=-1 ⇔ y=log₂(-1) ⇔ g(x)=log₂(-1)    ∴ g(100) = log₂9 ^^




5. 직각삼각형 ABC 와 A'BC 가 그림과 같이 겹쳐 놓여 있다. AB=p, A'C=q, DE=r 일 때, 다음 중 옳은 것은?
   
   

   ① +=	② +=	③ +=
   ④ +=	⑤ +=

(답) ①

1) BE=a, EC=b 라고 놓으면
2) p : r = (a+b) : b → bp = r(a+b) ⇔ b = r(a+b)/p …㉠
3) q : r = (a+b) : a → aq = r(a+b) ⇔ a = r(a+b)/q …㉡
4) ㉠, ㉡ 을 변 끼리 더하면 a+b = r(a+b)/p +r(a+b)/q …㉢
5) ㉢ 의 양변을 a+b 로 나누면 → 1 = r/p + r/q    ∴ 1/p + 1/q = 1/r ^^

☞ 검색할 때, shift 키를 누르시고 항목을 누르시면 현재화면을 빠져 나가실 수 있습니다.^^

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