PROBLEMS 20.1001 All-round check (16-1)

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MathCounts 문제

1. 기차로 2.5 시간 걸리는 A, B 두 지점에서 각각 B, A 를 향해서 매시 정각에 기차가 출발한다.
   A 를 출발한 기차는, B 에 도착할 때 까지, 도중에 기차를 몇 번 만나게 되는가?
   
   

   ① 3

   ② 4

   ③ 5

   ④ 6

   ⑤ 7

(답) ③

그림에 표시된 ①, ②, ③, ④, ⑤ 다섯 개의 기차를 만납니다. ^^






2. |a|+|b| = a²-b² = 99 를 만족하는 실수 a, b 를 구할 때, 다음 중 a-b 의 값이 될 수 없는 것은?
   
   

   ① 1

   ② -1

   ③ 99

   ④ -99

   ⑤ 100

(답) ⑤

1) |a|+|b|= |a|²-|b|² ⇔ |a|+|b| = (|a|+|b|)(|a|-|b|) → |a|-|b|=1
2) |a|+|b|=99, |a|-|b|=1 이므로 |a|=50, |b|=49 → a=±50, b=±49 ^^




3. 그림은 중심이 O, O' 인 외접하는 두 원과 점 P, Q 에서 원에 접하는 접선을 나타낸다. 다음 중 PQ² 과 같은 것은?
   
   

   ① AB×BC	② AB×AC	③ AC×BC
   ④ OP×O'Q	⑤ 2×OP×O'Q

(답) ①

1) 두 원의 반지름을 a, b 라고 하면
2) PQ² = OR² = OO'²-O'R² ← 피타고라스의 정리
3) PQ² = (a+b)²-(b-a)² = 4ab ← OO' = a+b, O'R = b-a
4) PQ² = (2a)(2b) = AB×BC ^^




4. x 에 대한 삼차방정식 x³+ax+b=0 의 세 근이 1, sinθ, cosθ 일 때, a²+b² 의 값은?
   
   

   ① 1

   ② 2

   ③ sin2θ

   ④ cos2θ

   ⑤ sinθcosθ

(답) ①

1) 1+sinθ+cosθ = 0 ⇔ sinθ+cosθ = -1 → (sinθ+cosθ)² = 1 ⇔ sinθcosθ = 0
2) sinθ=0, cosθ=-1 또는 cosθ=0, sinθ=-1 이므로 … → 방정식의 세 근은 1, 0, -1
3) x(x-1)(x+1) = 0 ⇔ x³-x = 0 에서 a=-1, b=0 ^^

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5. 모든 실수 x, y 에 대하여 f(x)f(y)=f(x)+f(y)+x+y+1 을 만족하는 함수 f 는 몇 개 존재하는가?
   
   

   ① 1 개	② 2 개	③ 3 개 이상
   ④ 무수히 존재한다.	⑤ 존재하지 않는다.

(답) ⑤

1) y=1 일 때 → f(x)f(1) = f(x)+f(1)+x+2 ⇔ f(x){f(1)-1} = x+2+f(1) …㉠ → f(x) 는 일차함수
2) x=y=1 일 때 → {f(1)}² = 2f(1)+3 ⇔ {f(1)-3}{f(1)+1}=0 ⇔ f(1)=3 또는 f(1)=-1
3) f(1)=3 이면 ㉠ 에서 → 2f(x) = x+5 ⇔ f(x) = (1/2)(x+5) …㉡
4) f(1)=-1 이면 ㉠ 에서 → -2f(x)= x+1 ⇔ f(x) = -(1/2)(x+1) …㉢
5) 그러나, 일차함수 ㉡, ㉢ 은 모두 f(x)f(y)=f(x)+f(y)+x+y+1 을 만족하지 않음. ^^

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