PROBLEMS 20.0930 All-round check (15-7)

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MathCounts 문제

1. 집합 {i^m+iⁿ| m, n 은 정수, i²=-1} 의 원소 중에서 실수가 아닌 것의 개수는?
   
   

   ① 4

   ② 5

   ③ 6

   ④ 7

   ⑤ 8

(답) ③

1) {i^m| m 은 정수}={1, i, -1, -i}, {iⁿ| n은 정수}={1, i, -1, -i}
2) {i^m+iⁿ| m, n 은 정수}={2, 0, -2, 2i, -2i, 1+i, 1-i, -1+i, -1-i} ^^

☞ k 가 정수일 때, i^4k = i^-4k = 1




2. 넓이가 24 인 △ABC 의 내부에 한 점 P 가 있다. △PAB≥△PBC≥△PCA 를 만족하는 점 P 가 존재하는 영역을 S 라 할 때, S 의 넓이는?
   
   

   ① 2	② 3	③ 4
   ④ 6	⑤ 8

(답) ③

1) AD, BE, DF 는 삼각형의 중선
2) 집합 S 는 그림의 어두운 부분    ∴ S 의 넓이 = 24×(1/6) = 4 ^^

☞ P 가 AD 위에 존재하면 → △PAB=△PAC




3. 방정식 x⁵=1 의 한 허근을 α 라고 할 때, (1+α)(1+α²)(1+α³)(1+α⁴) 의 값은?
   
   

   ① 1

   ② -2

   ③ 3

   ④ -4

   ⑤ 5

(답) ①

1) x⁵-1=0 ⇔ (x-1)(x⁴+x³+x²+x+1)=0 → α⁴+α³+α²+α+1=0 (∵ α 는 허수)
2) (1+α)(1+α²)(1+α³)(1+α⁴)=(1+α)(1+α⁴)×(1+α²)(1+α³)
3) (1+α+α⁴+α⁵)(1+α²+α³+α⁵)=(2+α+α⁴)(2+α²+α³) ← α⁵=1
4) 2²+2(α+α⁴+α²+α³)+(α+α⁴)(α²+α³) ← α⁴+α³+α²+α=-1

∴ 4+2(α+α²+α³+α⁴)+(α³+α⁴+α⁶+α⁷)=4+2(-1)+(-1)=1 ^^ ← α⁶=α, α⁷=α²




4. 함수 f 의 역함수가 존재할 때, f(x+1) 의 역함수를 g(x), f(x-1) 의 역함수를 h(x) 라고 한다.
   다음 중 옳은 것은?
   
   

   ① h(x) = g(x)+1	② h(x) = g(x)-2	③ h(x) = g(x)+2
   ④ h(x)+g(x) = 2	⑤ h(x)+g(x) = -2

(답) ③

1) f(x+1) 의 역함수가 g(x) → f(g(x)+1)=x …㉠    ☞ 관련사항을 참조하세요! ^^
2) f(x-1) 의 역함수가 h(x) → f(h(x)-1)=x …㉡
3) ㉠, ㉡ 에서 f 는 일대일 대응이므로 g(x)+1=h(x)-1    ∴ h(x) = g(x)+2 ^^




5. 직각삼각형 ABC 의 내접원의 반지름이 1 이고 ∠OBC 의 크기가 θ 이면, AC= 이다. 이 때, a+b 는?
   
   

   ① -1	② 2	③ -3
   ④ 4	⑤ -5

(답) ③

1) 그림에서 BD=cotθ ← BD×tanθ=1
2) 삼각형의 넓이 → cotθ+l+1 = (cotθ+1)(l+1)/2
3) 2(cotθ+AC) = (cotθ+1)^.AC
4) (cotθ-1)^.AC = 2cotθ ⇔ AC=(2cotθ)/(cotθ-1) …㉠
5) ㉠의 분모, 분자에 tanθ 를 곱하면 → AC = 2/(1-tanθ)

∴ AC = (-2)/(tanθ-1) 이므로 a+b = -3 ^^

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