PROBLEMS 20.0929 All-round check (15-6)

문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

20.0928 보기

관련사항 보기

MathCounts 문제

1. sinθ-cosθ=1 일 때, sin⁹⁹θ-cos⁹⁹θ 의 값은?
   
   

   ① -1

   ② 0

   ③ 1

   ④ 1 또는 -1

   ⑤ 알 수 없다.

(답) ③

sinθ-cosθ=1 의 양변을 제곱 → sinθ^.cosθ=0 (∵ sin²θ+cos²θ=1)

 i) sinθ=0 이면 cosθ=-1 → sin⁹⁹θ-cos⁹⁹θ = 1
 ii) cosθ=0 이면 sinθ=1 → sin⁹⁹θ-cos⁹⁹θ = 1 ^^




2. O(0,0), A(0,6), B(6,0) 을 꼭지점으로 하는 삼각형 ABC 의 내부에 한 점 P(α,β) 를 잡았더니 △PAB , △PAO, △PBO 의 넓이의 비가 1 : 2 : 4 가 되었다. 이 때, 7(α+β) 는?
   
   

   ① 35

   ② 36

   ③ 37

   ④ 38

   ⑤ 39

(답) ②

1) Q 는 OB 를 1 : 2 로 내분 → Q(4,0)
2) R 은 AB 를 2 : 4 로 내분 → R(2,4)
3) OQ 의 방정식 → y=-(3/2)x+6 ⇔ 3x+2y=12
4) OR 의 방정식 → y= 2x
5) 3x+2y=12, y=2x 를 연립 → x=12/7, y=24/7 ^^





3. f(x)=x²+ax+b, f(99)=100, f(101)=100 일 때, f(x) 의 최소값은?
   
   

   ① 99

   ② 100

   ③ 101

   ④ 102

   ⑤ 103

(답) ①

1) f(x)=x²+ax+b 의 그래프는 y=x² 의 그래프와 합동
2) 그림에서 x=100 일 때, f(x) 의 최소값=99 ^^




4. y=tanx (-π/2<x<π/2) 의 역함수를 y=f(x) 라고 할 때, sec²f(x) 를 구하면?
   
   

   ① 1-x2

   ② x2

   ③ 1+x2

   ④ 2-x2

   ⑤ 2+x2

(답) ③

1) y=tanx (0≤x<π/2) 의 역함수 ⇔ x=tany (0≤y<π/2) → 여기서 y=f(x) ^^
2) x=tany (0≤y<π/2) 의 양변을 제곱 → x²=tan²y ⇔ x²=sec²y-1
3) sec²y=1+x² 에서 y=f(x) 이므로 → sec²f(x)=1+x² ^^    ☞ 관련사항을 참조하세요! ^^




5. 직사각형 ABCD 를 그림과 같이 넓이가 S₁, S₂, S₃, S₄ 인 네 개의 직사각형으로 나누었다. S₁≥1, S₂≥1, S₃≥1, S₄≥4 일 때, 직사각형 ABCD 의 넓이의 최소값은?
   
   

   ① 7	② 8	③ 9
   ④ 10	⑤ 11

(답) ③

1) 그림에서 S₁=ac, S₂=bc, S₃=ad, S₄=bd → S₁S₄=S₂S₃=abcd
2) S₁S₄=S₂S₃≥4 ← S₁≥1, S₂≥1, S₃≥1, S₄≥4
3) S=또는 S=
4) S₂=S₃ 인 경우 → S₁=1, S₄=4, S₂=S₃=2 일 때 S 의 최소값=9 ^^

☞ S₁=S₄ 인 경우 → S₁=S₄≥4 이므로 S≥10 이 됩니다. ^^

☞ 검색할 때, shift 키를 누르시고 항목을 누르시면 현재화면을 빠져 나가실 수 있습니다.^^

엠파스 에서 관련사항 찾아보기