PROBLEMS 20.0928 All-round check (15-5)

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MathCounts 문제

1. log₂x+log₄y=1 일 때, log₃x+log₉y 의 값은?
   
   

   ① 1

   ② log23

   ③ log32

   ④ log43

   ⑤ log92

(답) ③

1) log₂x+log₄y=1 의 양변에 log₃2 를 곱하면 ← (log_ab)(log_bc) = log_ac
2) (log₃2)(log₂x+log₄y) = log₃2 ⇔ (log₃2)(log₂x)+(log₃2)(log₄y) = log₃2
3) log₃x+(log₉4)(log₄y) = log₃2 에서 log₃x+log₉y = log₃2 ^^ ← log_ab = log_anbⁿ




2. 어떤 안건에 대한 투표 결과 찬성표와 반대표의 비율이 5 : 4 이었다. 2차 투표결과 찬성표가 몇 표 더 많아져서 찬성표와 반대표의 비율이 3 : 2 가 되었다. 기권표나 무효표가 없다고 가정할 때, 투표자 수의 최소값은?
   
   

   ① 45

   ② 50

   ③ 55

   ④ 60

   ⑤ 65

(답) ①

1) 찬성표의 수를 a, 반대표의 수를 b 라고 하면  a : b = 5 : 4 ⇔ 4a=5b …㉠
2) (a+n) : (b-n) = 3 : 2 ⇔ 2(a+n)=3(b-n) ⇔ 4(a+n)=6(b-n) …㉡
3) ㉠, ㉡ 에서 a 를 소거 → 5b+4n=6b-6n 에서 b=10n
4) b=10n 을 ㉠ 에 대입하면 4a=50n ⇔ a=(25/2)n

∴ a=(25/2)n, b=10n 에서 n=2 일 때 a, b 의 최소값은 각각 25, 20 ^^




3. 모든 x 에 대하여 f(x)+f(-x)=2x² 을 만족하는 다항함수 f(x) 가 있다. f(x) 에 대한 다음 설명 중 옳지 않은 것은?
   
   

   ① f(0)=0 이다.	② f(1)=1 이면 f(-1)=1 이다.
   ③ f(x) 의 2 차항의 계수는 1 이다.	④ f(x) 는 3차함수가 될 수 있다.
   ⑤ f(x) 는 4차 이상의 함수가 아니다.

   　

(답) ⑤

1) 다항함수 f(x) 의 지수가 짝수인 항의 합을 g(x), 홀수인 항의 합을 h(x) 라고 하면 …
2) f(x) = g(x)+h(x) 이고 g(-x)=g(x), h(-x)=-h(x)    ☞ 관련사항을 참조하세요! ^^
3) f(x)+f(-x) = 2x² ⇔ {g(x)+h(x)}+{g(-x)+h(-x)} = 2x² ⇔ 2g(x) = 2x² ⇔ g(x)=x²

∴ f(x) = x²+h(x) 꼴의 다항함수 이므로 ③, ④는 참, ⑤ 는 거짓 ^^




4. 2¹⁰⁰ 은 첫째 자리의 숫자가 a 이고 끝 자리 숫자가 b 인 c 자리의 정수이다. 이 때, a+b+c 는? (단, log2=0.3010 )
   
   

   ① 37

   ② 38

   ③ 39

   ④ 40

   ⑤ 41

(답) ②

1) log2¹⁰⁰ = 100^.log2 = 100×0.3010 = 30.10 = 30 + 0.10
2) loga = 0.10 이라고 하면 1<a<2 ← log1=0, log2=0.3010
3) log2¹⁰⁰ = 30+loga = log(a×10³⁰) ⇔ 2¹⁰⁰ = a×10³⁰ (1<a<2)
    따라서 2¹⁰⁰ 은 31 자리 정수이고 첫 째 자리의 숫자는 1
4) 2¹=2, 2²=4, 2³=8, 2⁴=16, 2⁵=32, 2⁶=64, …  에서 2¹⁰⁰ 의 끝 자리의 숫자는 6 ^^




5. 중심 C 의 좌표가 (0,1), 반지름이 1 인 원이 미끄러지지 않고 회전하여 x 축 위를 구른다. 원이 점선으로 표시된 위치에 왔을 때, 선분 CP 가 회전한 각의 크기에 가장 가까운 각은?
   
   

   ① 100°	② 120°	③ 130°
   ④ 140°	⑤ 150°

(답) ②

1) 그림에서 P 가 움직인 호의 길이 l = 2
2) l = rθ 에서 r = 1 이므로 θ = 2
3) π = 180° ⇔ 1 = 180°/π ⇔ 2 = 360°/3.14 = 114.591…°

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