PROBLEMS 20.0927 All-round check (15-4)

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MathCounts 문제

1. 다항함수 f(x) 가 모든 x 에 대하여 f(x)+f(x+1) = 100x 을 만족한다. 이 때, f(-1)+f(1) 은?
   
   

   ① 0

   ② 50

   ③ -50

   ④ 51

   ⑤ -51

(답) ③

1) f(x)+f(x+1) = 100x 를 만족하는 다항함수 → f(x) 는 일차함수
2) f(x)=ax+b 라고 놓으면 (ax+b)+(ax+a+b) = 100x
3) 2ax+(a+2b) = 100x 에서 a=50, b=-25    ∴ f(x) = 50x-25 ^^




2. 연산 a*b = a+b+ab 에 대하여 A=(-a)*b, B=a*(-b) 라고 할 때, 다음 중 A*B 와 같은 것은?
   
   

   ① a2*b2	② (-a2)*(-b2)	③ a2*(-b2)
   ④ (-a2)*b2	⑤ -(a2*b2)

(답) ②

1) A=(-a)+b+(-ab) = -a+b-ab, B=a+(-b)+(-ab)=a-b-ab
2) A*B = (-a+b-ab)+(a-b-ab)+(-a+b-ab)(a-b-ab)
3) A*B = -2ab+{ab+(a-b)}{ab-(a-b)} = -2ab+(ab)²-(a-b)² = a²b²-a²-b²
4) A*B = (-a²)+(-b²)+(-a²)(-b²) = (-a²)*(-b²) ^^




3. △ABC 의 변 AC 위의 한 점 D 에서 AB 에 평행한 선을 그어 BC 와 만나는 점을 E 라 한다. ∠AED=∠AEB , AB=8, DE=5 일 때, CE 의 길이는? [AHSME]
   
   

   ① 51/4	② 13	③ 53/4
   ④ 40/3	⑤ 27/2

(답) ④

1) △ABE 는 이등변삼각형 → BE=8
2) △ABC∽△DEC → 8 : 5 = (8+x) = x

∴ 8x = 5(8+x) ⇔ 3x=40 ⇔ x=40/3 ^^




4. 지진의 에너지 E 와 지진의 규모 M 사이에는 log_aE = bM+c 인 관계가 성립한다. 지진의 규모가 1 증가하면 지진의 에너지는 몇 배로 되는가? (단, a,b,c 는 상수이고 a>1)
   
   

   ① a 배

   ② b 배

   ③ c 배

   ④ ab 배

   ⑤ ac 배

(답) ④

1) 지진의 규모가 M+1 일 때의 에너지를 E' 이라고 하면 → log_aE'=b(M+1)+c
2) log_aE'=(bM+c)+b ⇔ logaE'=log_aE+b ⇔ log_a(E'/E) = b
3) log_a(E'/E) = b ⇔ E'/E = a^b ⇔ E' = E×a^b ^^




5. 그림에서 C 는 원의 중심, AB 는 원의 접선이다. 0 < θ < π/2 일 때, 어두운 두 부분의 넓이가 같을 조건은? [AHSME]
   
   

   ① tanθ = θ	② tanθ = 2θ	③ tanθ = 4θ
   ④ tan2θ = θ	⑤ tan(θ/2) = θ

(답) ②

1) 원의 반지름 CA=1 이라고 하면 AB=CA×tanθ = tanθ    ☞ 관련사항을 참조하세요!
2) △ABC 의 넓이 =(tanθ)/2
3) 부채꼴 CED 의 넓이 = θ/2
4) △ABC 의 넓이 = 2×(부채꼴 CED 의 넓이) ⇔ (tanθ)/2 = θ ⇔ tanθ = 2θ ^^

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