PROBLEMS 20.0926 All-round check (15-3)

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MathCounts 문제

1. 자연수 n 을 99 로 나눌 때의 몫을 a, 나머지를 b 라고 한다. a+b = 99 를 만족하는 자연수 n 의 최소값을 N 이라 할 때, N 의 각자리 숫자의 합은?
   
   

   ① 11

   ② 13

   ③ 17

   ④ 19

   ⑤ 23

(답) ③

1) n = 99a+b …㉠, a+b = 99 …㉡ ← a는 양의 정수, b=0, 1, 2, …, 98
2) ㉠, ㉡ 에서  n = 99(99-b)+b = 99²-98b
3) n = 99²-98b 에서 b=98 일 때, n 이 최소
4) N = 99²-98² = (99+98)(99-98) = 197 ^^




2. 다음은 세 실수 a, b, c 가 a+b+c = ab+bc+ca = 3 을 만족할 때, [ (가) ] 임을 밝히는 과정의 일부이다.
   
   

   (a-1)2+(b-1)2+(c-1)2 =(a2+b2+c2)-2(a+b+c)+3 =(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)-2(a+b+c)+3 ----------- (생략) ------------

   
   다음 중 [ (가) ] 에 알맞은 것은?
   
   

   ① a2+b2+c2=3	② a3+b3+c3=3	③ abc=1
   ④ a=b=c=1	⑤ 알맞은 것이 없다.

(답) ④

1) (a-1)²+(b-1)²+(c-1)² = (a+b+c)²-2(ab+bc+ca)-2(a+b+c)+3 ← a+b+c=ab+bc+ca=3
2) (a-1)²+(b-1)²+(c-1)² = 9-6-6+3 = 0
3) (a-1)²+(b-1)²+(c-1)² = 0 ⇔ a-1=0, b-1=0, c-1=0 ⇔ a=b=c=1 ^^ ← a, b, c 는 실수




3. 그림의 어두운 부분에 있는 모든 점들의 집합을 S 라고 한다. 집합 {x+y| (x,y)∈S} 의 원소 중에서 최대인 것을 m, 최소인 것을 n 이라 할 때, m+n 은?
   
   

   ① 5	② 7	③ 9
   ④ 11	⑤ 13

(답) ②

1) 그림에서, 점 (2,3) 에 대하여 x+y 는 최대 → m = 2+3 =5
2) (1,1) 에 대하여 x+y 는 최소 → n= 1+1 =2

∴ m+n = 5+2 = 7 ^^




4. 다음 중 함수 log₂(x²+2)+log₂(x²+8) 의 치역의 원소인 것은?
   
   

   ① 0

   ② 1

   ③ 2

   ④ 3

   ⑤ 5

(답) ⑤

1) log₂(x²+2)+log₂(x²+8) = log₂(x²+2)(x²+8)
2) log₂(x⁴+10x²+16) 에서 x²≥0 이므로 x⁴+10x²+16≥16 → log₂(x⁴+10x²+16)≥log₂16

∴ log₂(x²+2)+log₂(x²+8)≥4 ^^




5. sinθ≥0.6, cosθ≤0.6 일 때, 다음 중 tanθ 의 값이 될 수 없는 것은?
   
   

   ① 1

   ② -2

   ③ 3

   ④ -100

   ⑤ 100

   
   

(답) ①

1) 점 P(x,y) 에 대하여 동경 OP 의 각을 θ 라고 하면 …
    조건을 만족하는  P 의 존재범위는 그림과 같습니다. ^^
2)  tanθ 는 OP 의 기울기 이므로 tanθ≥4/3 이고 tanθ≤-(3/4)  ^^

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