PROBLEMS 20.0925 All-round check (15-2)

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MathCounts 문제

1. 다섯 자리 정수 N=abcba 가 15 의  배수가 되도록 a, b, c 를 정한다. N 이 최대일 때, a+b+c 는?
   
   

   ① 18

   ② 19

   ③ 20

   ④ 21

   ⑤ 22

(답) ⑤

1) N 이 15 의 배수 → N 이 3 의 배수이고 5의 배수
2) N 의 각자리 숫자의 합이 3 의 배수 → 2a+2b+c 는 3 의 배수
3) N 의 끝자리 수는 0 또는 5 → a=5 (a≠0)
4) N 이 최대 ⇔ 10+2b+c 에서 b, c 가 최대
5) 10+2b+c 는 3의 배수 → b=9 이고 c=8 일 때 …     ∴ a+b+c = 5+9+8 = 22 ^^




2. 그림은 두 변이 x, y 축 위에 있는 정사각형이다. 변 AB 위에 한 점 P 를 잡아 삼각형 OAP 와 사각형 OPBC 의 넓이의 비가 3 : 5 가 되도록 한다. 이 때, OP 의 기울기는?
   
   

   ① 0.65	② 0.70	③ 0.75
   ④ 0.80	⑤ 0.85

(답) ③

1) 그림에서 두 개의 직사각형의 넓이의 비 = 1 : 3
2) 직사각형의 가로의 길이가 같으므로, 세로의 비 = 1 : 3  
3) BP=a 라고 하면 PA=3a
4) OA = a+3a = 4a
5) 기울기 = PA/OA    ∴ 기울기 = 3a/4a = 0.75 ^^




3. xy=1 의 그래프를 x 방향으로 2 만큼, y 방향으로 3 만큼 평행이동한 그래프의 식은 이다. 이 때, a+b+c 는?
   
   

   ① 1

   ② -2

   ③ 3

   ④ -4

   ⑤ 5

(답) ④

1) xy=1 을 x→2, y→3 만큼 평행이동하면 (x-2)(y-3)=1
2) (x-2)(y-3) = 1 의 양변을 x-2 로 나누면 → y-3 =⇔ y =+3
3) y=+3 ⇔    ∴ a+b+c=-4 ^^




4. 원 x²+y²=4a (a>0)과 직선 x+y=2a 가 서로 다른 두 점 P, Q 에서 만날 때, PQ 의 길이의 최대값은?
   
   

   ① 1

   ②

   ③

   ④ 2

   ⑤ 2

(답) ⑤

1) x²+y²=4a 와 x+y=2a 의 교점의 자취의 방정식 → x²+y² = 2(x+y)
2) x²+y² = 2(x+y) ⇔ (x-1)²+(y-1)² = 2
3) 그림에서 PQ 의 최대값은 2(빨간 선분의 길이)

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5. y=x 와 y=logx+a 의 교점을 P, Q 라고 한다. PQ=일 때, a 를 구하면?
   
   

   ① 3+2log3	② 3-2log3	③ 3-2+2log3
   ④ 3-1+log3	⑤ 3-1-log3

(답) ③

1) P(α,α), Q(β,β) 라고 하면 α=logα+a …㉠, β=logβ+a …㉡
2) PQ=이므로 α-β=1 ← PQ 의 기울기=1
3) ㉠, ㉡ 을 변끼리 빼면 → α-β = logα-logβ ⇔ logα- logβ =1 ⇔ α=10β
4) α-β=1, α=10β ⇔ α=10/9, β=1/9
5) ㉡ 에서 → a=1/9 - log(1/9) = 3^-2-log3^-2 = 3^-2+2log3 ^^

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