PROBLEMS 20.0923 All-round check (14-7)

문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

20.0922 보기

관련사항 보기

MathCounts 문제

1. 갑, 을 두 사람이 원주 위의 점 A 에서 반대 방향으로 동시에 출발하여 A 에서 다시 만날 때까지 계속 돈다고 한다. 갑의 속력이 5m/초, 을의 속력이 9m/초 라고 할 때, 두 사람은 도중에서 몇 번 만나는가? (A 에서 만나는 것은 제외)  [AHSME]     
   
   

   ① 13	② 25	③ 44
   ④ 무수히 만난다.	⑤ 답이 없다.

(답) ①

1) 처음 만나는 지점 → 원둘레를 5 : 9 로 나누는 지점
2) 원둘레의 길이를 14 (단위길이) 라고 하면 …
3) n 번 만날 때 … 을이 진행한 거리 → 9n (단위길이)
4) 출발지점 A 에서 두 사람이 만나면… → 을이 움직인 거리는 원둘레의 정수배

∴ 9n = 14k 를 만족하는 최소의 양의 정수 → n=14, k=9 ^^




2. xy=1 의 그래프의 제1사분면 위의 두 점 P, Q 및 원점 O 를 꼭지점으로 하는 △OPQ 가 정삼각형일 때, △OPQ 의 둘레의 길이는?
   
   

   ① 3	② 6	③ 9
   ④ 12	⑤ 15

(답) ②

1) 그림에서 점 P, Q 는 직선 y=x 에 대하여 대칭
2) P(a,b) 라고 하면 Q(b,a) 이고 ab = 1 …㉠
3) OP² = a²+b², PQ² = (a-b)²+(b-a)²
4) OP² = PQ² ⇔ a²+b² = 2(a-b)² ⇔ a²-4ab+b² = 0 …㉡
5) ㉠, ㉡ 에서 a²+b² = 4 이므로 OP=2    ∴ 정삼각형의 둘레의 길이는 6 ^^




3. 이차방정식 x²+ax-4=0 의 한 근이 1 과 2 사이에 존재할 때, 다른 한 근이 존재하는 범위는?
   
   

   ① x>-4	② x>-2	③ -4<x<0
   ④ -2<x<0	⑤ -4<x<-2

(답) ⑤

1) x²+ax-4=0 ⇔ x²-4=-ax
2) y=x²-4, y=-ax 라고 놓으면 …
3) 방정식의 근은 두 그래프의 교점의 x 좌표
4) 그림에서 다른 한 근 α 의 범위는 → -4<α<-2 ^^

☞ 관련사항을 참조하세요! ^^




4. 연립방정식 log(x+y) = logx+logy, log(x-y) = logy-logx 의 해를 구할 때, x 는?
   
   

   ① 1

   ②

   ③ 2

   ④ +1

   ⑤ 3

(답) ④

1) log(x+y) = logx+logy ⇔ x+y = xy …㉠ ← x>0, y>0
2) log(x-y) = logy-logx ⇔ x-y = y/x …㉡
3) ㉠, ㉡ 을 변 끼리 곱하면 x²-y²=y² ⇔ x²=2y² ⇔ x=y
4) ㉠ 에 대입 → (+1)y = y² ⇔ +1=y    ∴ x = +1 ^^




5. 오른쪽 그림에서 점 P 와 Q 가 원 O, O' 의 공통내접선과 공통외접선과의 교점이라 할 때, PQ 의 길이는? [AHSME]
   
   ① 공통외접선과 공통내접선의 길이의 산술평균이다.
   ② 두 원 O, O' 의 크기가 같으면 공통외접선의 길이와 같다.
   ③ 항상 공통외접선의 길이와 같다.
   ④ 공통외접선의 길이보다 크다.
   ⑤ 공통외접선과 공통내접선의 길이의 기하평균이다.  　

(답) ③

1) 공통외접선 → m+a = n+b …㉠
2) 큰 원의 접선 → m = a+ l …㉡
3) 작은 원의 접선 → n = b+ l …㉢
4) PQ = a+b+ l

    ㉠, ㉡, ㉢ 에서 …
    (a+l)+a = (b+l)+b → a=b

5) PQ = 2a+ l
6) 공통외접선 = m+a = 2a+ l

∴ PQ = (공통 외접선) ^^

☞ 검색할 때, shift 키를 누르시고 항목을 누르시면 현재화면을 빠져 나가실 수 있습니다.^^

엠파스 에서 관련사항 찾아보기