PROBLEMS 20.0922 All-round check (14-6)

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MathCounts 문제

1. 자동차에 A 형 바퀴를 달고 직선거리로 10 km 를 달린 후, 그 지점에서 B 형 바퀴로 바꿔 달고 출발지점으로 다시 직선거리로 되돌아 왔더니 거리계에 9 km 로 나타나 있었다. A 형 바퀴의 둘레가 190 cm 일 때, B 형 바퀴의 둘레에 가장 가까운 정수 값은?
   
   

   ① 205

   ② 207

   ③ 209

   ④ 211

   ⑤ 213

(답) ④

1) (바퀴의 둘레)×(회전수) = 진행한 거리
2) 거리계의 눈금 → 바퀴의 회전수에 비례
3) 진행한 거리가 같으므로 바퀴의 둘레와 회전수는 반비례
4) 회전수의 비 = 10 : 9 → 바퀴 둘레의 비 = 9 : 10

∴ 190 : L = 9 : 10 ⇔ L = 190×(10/9) = 1900/9 = 211.11… ^^




2. 포물선 y=x² 위의 두 점 P, Q 를 꼭지점으로 하는 ∠POQ=90° 인 직각삼각형 OPQ 가 있다. 삼각형 OPQ 의 넓이가 5 일 때, PQ = 이다. 이 때의 L 은?
   
   

   ① 101	② 102	③ 103
   ④ 104	⑤ 105

(답) ⑤

1) P(α,α²), Q(β,β²) 이라고 하면 삼각형의 넓이 → S= (1/2)|αβ²-α²β|
2) OP 의 기울기=α, OQ 의 기울기=β → αβ=-1
3) S=(1/2)|αβ(α-β)| ⇔ 5=(1/2)|α-β| ⇔ |α-β|=10
4) PQ² = (α-β)²+(α²-β²)² ⇔ PQ² = (α-β)²{1+(α+β)²} ← (α+β)² = (α-β)²-4αβ = 104

∴ PQ²= 100²×105 이므로 → L =105 ^^




3. 1 이 아닌 양의 정수 a, b, c 가 a^logb^c = b^logc^a = b+c 를 만족한다. 이 때, a+b+c 의 최소값은?
   
   

   ① 6

   ② 7

   ③ 8

   ④ 9

   ⑤ 10

(답) ③

1) a^logb^c = b^logc^a ⇔ a^logb^c = a^logc^b 에서 → log_bc = log_cb
2) log_bc = log_cb ⇔ (log_bc)² = 1 ⇔ log_bc = ±1
3) b, c 는 양의 정수 이므로 log_bc=1 ⇔ b=c
4) a^logb^b = b^logb^a = b+c → a =b+c ⇔ a=2b
5) a+b+c = 2b+b+b = 4b    ∴ a+b+c 는 b=2 일 때 최소이고 최소값은 8 ^^




4. 넓이가 1 인 삼각형이 반지름 2 인 원에 내접한다. 이 삼각형의 세 변의 길이의 곱은?
   
   

   ① 3

   ② 4

   ③ 6

   ④ 8

   ⑤ 9

(답) ④

1) S=(1/2)absinC = abc/4R ← sinC = c/2R (사인 법칙)    ☞ 관련사항을 참조하세요! ^^
2) S=1, R=2 이므로 abc=8 ^^




5. △ABC 의 중선 AM 과 중선 BN 이 직교한다. AC=6, BC=7 일 때, AB 의 길이는? [AHSME]
   
   

   ①	② 4	③ 9/2
   ④	⑤ 17/4

(답) ①

1) 그림에서 AB//MN 이고 AB = 2MN
2) 어두운 두 직각삼각형의 닮음비는 2 : 1
3) (2a)²+b² = 3², (2b)²+a² = (7/2)²
4) 두 식을 변끼리 더하면 5(a²+b²) = 9+49/4 = 85/4
5) AB² = 4(a²+b²) = 4×(17/4) = 17 ^^

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