PROBLEMS 20.0919
All-round check (14-3)
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  1. 변의 개수가 각각 m, n (m ≤n) 인 두 개의 볼록 다각형이 같은 평면 위에 있다. 두 다각형의 변이 서로 겹치지 않을 때, 두 다각형의 변의 교점의 최대 개수는? [AHSME]

    ① 2m 개 ② 2n 개 ③ mn 개 ④ m+n 개 ⑤ 답 없음

    2. (답) ① → 그림 참조^^



  2. 그림은 밑면의 반지름이 6 이고 높이가 8 인 원뿔과 내접하는 구이다, 원뿔의 옆면과 구면과의 교선이 원뿔을 두 부분으로 나눈다. 나누어진 두 입체의 부피의 비는?

    ① 1 : 15 ② 1 : 17 ③ 1 : 19
    ④ 8 : 117 ⑤ 7 : 118

    3. (답) ④

    1) AB=8, BC=6 → AC=10
    2) △ABC 의 변의 비 → 3 : 4 : 5
    3) OA=5r 이라고 놓으면 OQ=3r, AQ=4r 이고 …
        AB=5r+3r=8 이므로 r=1
    4) PQ=AQ×(3/5)=4×(3/5)=12/5
    5) PQ : BC = 12/5 : 6 = 2 : 5
    6) 닮은 두 원뿔의 부피의 비 = 23 : 53 = 8 : 125

    ∴ 두 입체의 부피의 비 = 8 : (125-8) = 8 : 117 ^^



  3. 모든 자연수 x 에 대하여 f(x)+f(x+1)=x 이 성립한다. f(1)=1 일 때, f(99)+f(102) 는?

    ① 98 ② 99 ③ 100 ④ 101 ⑤ 201

    4. (답) ③
    f(1)+f(2)=1 → f(2)=0
    f(2)+f(3)=2 → f(3)=2
    f(3)+f(4)=3 → f(4)=1
    f(4)+f(5)=4 → f(5)=3
    f(5)+f(6)=5 → f(6)=4
    …………………………    		 ⇒


    		 1) f(1)=1, f(3)=2, f(5)=3, … → f(2n-1)=n
    2) f(2)=0, f(4)=1, f(6)=2, … → f(2n)=n-1

    ∴ f(99)=50, f(102)=50 이므로 f(99)+f(102)=100 ^^


  4. 오른쪽 그림은 y=x 와 y=logx 및 x, y 축에 평행인 선분과 양수 a, b, c, d 를 나타낸 것이다. 다음 중 ad 과 값이 같은 것은?

    ① bb ② bc ③ cb
    ④ cc ⑤ (bc)bc

    5. (답) ②

    1) 그림에서 loga=c, a=d, logb=d
    2) logad = dloga = (logb)c ← d=logb, loga=c 

    ∴ logad = (logb)c = clogb = logbc 에서 ad=bc ^^



  5. 반지름이 r 인 원둘레 위에 세 점 P, Q, R 이 있다. 그림에서 점 Q 가 y 축에 가장 가깝고, 점 P 가 y 축에서 가장 멀리 있다. 동경 OP, OQ, OR 의 각을 각각 α, β, γ 라고 할 때, 다음 중 성립하지 않는 것은?

    ① sinα < sinβ ② cosα > cosβ ③ tanγ < 0
    ④ tanα < tanβ ⑤ tanα+tanγ > 0

    (답) ⑤

    1) sinθ = y/r → sinβ > sinγ > sinα        ☞ 관련사항을 참조하세요! ^^
    2) cosθ = x/r → cosα > cosβ > cosγ
    3) tanθ 는 동경의 기울기 → tanβ > tanα > tanγ
    4) OR 의 기울기는 음수 → tanγ<0

    ⑤ → OR 의 기울기의 절대값이 OP 의 기울기보다 크므로 tanα+tanγ < 0 ^^



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update 2000년 09월 19일 수학선생님® 수학교육연구©