PROBLEMS 20.0918 All-round check (14-2)

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MathCounts 문제

1. x 에 대한 이차방정식 (x-a)(x-b)+100=0 이 중근을 가질 때, |a-b| 는?
   
   

   ① 10

   ② 20

   ③ 30

   ④ 40

   ⑤ 50

(답) ②

1) (x-a)(x-b)+100=0 ⇔ x²-(a+b)x+(ab+100)=0
2) D=(a+b)²-4(ab+100)=0 → (a-b)²=400 ⇔ |a-b|=20 ^^

☞ 이차방정식 ax²+bx+c=0 의 판별식 D → D=b²-4ac




2. 그림에서 L, M, N은 사면체의 모서리 AB, AC, AD 의 중점이다. 사면체 ABCD 에서 사면체 ALMN을 잘라낸다. 이와 같이 사면체 ABCD 의 네 개의 꼭지점에서 사면체를 잘라내면 남은 부분의 부피는 원래 부피의 몇 % 가 되는가?
   
   

   ① 20 %	② 30 %	③ 40 %
   ④ 50 %	⑤ 60 %

(답) ④

1) 사면체 ALMN, ABCD 의 닮음 비 = 1 : 2 → 부피의 비 = 1³ : 2³
2) 사면체 ALMN 의 부피는 원래 부피의 1/8

∴ 1-(1/8)×4 = 1- 1/2 = 1/2 (50%) ^^    ☞ 잘라내고 남은 부분은 8 면체가 됩니다.^^




3. 원 x²+y²=1 위의 한 점 P 에서 원에 그은 접선이 y 축, x 축과 만나는 점을 각각 Q, R 이라 할 때, OQ×OR 과 같은 것은?
   
   

   ① PQ	② PR	③ QR
   ④ PQ×PR	⑤ 답이 없다.

(답) ③

1) OP⊥QR, OP=1
2) △OQR 의 넓이 → S = (1/2)×OQ×OR = (1/2)×QR×OP
3) OQ×OR=QR×OP → OQ×OR=QR ^^    ☞ 원 x²+y²=r² → 중심 (0,0), 반지름= r ^^




4. 실험에 의하면, 컵에 뜨거운 물을 넣은 지 x 분 경과 후의 물의 온도 y °C 사이에는 y=a×b^-x 인 관계가 성립한다고 한다. 5 분 후 물의 온도가 80 °C, 10 분 후 물의 온도가 60 °C 라고 하면 15 분 후 물의 온도는?
   
   

   ① 40 °C

   ② 41 °C

   ③ 43 °C

   ④ 45 °C

   ⑤ 47 °C

(답) ④

1) 15 분 후 물의 온도는 a×b^-15
2) a×b^-5 = 80 …㉠, a×b^-10 = 60 …㉡
3) ㉠÷㉡ → b⁵ = 4/3 ⇔ b^-5 = 3/4
4) a×b^-15 = (a×b^-10)×b^-5 = 60×(3/4) = 45 ^^




5. y=f(x) 의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, y=|f^-1(x)|의 그래프로 적당한 것은?
   
   

   ①	②	③
   ④	⑤

(답) ①
1) 역함수의 그래프 → y=x 에 대칭
2) y=|f^-1(x)|의 그래프 → f^-1(x) 가 음수인 부분은 양수로 ^^    ☞ 관련사항을 참조하세요!

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