PROBLEMS 20.0917 All-round check (14-1)

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MathCounts 문제

1. (A-B)∪(B-A)=A 일 때, 다음 중 항상 참인 것은?
   
   

   ① A=φ

   ② B=φ

   ③ A⊂B

   ④ B⊂A

   ⑤ A=B

(답) ②

1) (그림1) → (A-B)∪(B-A)
2) A, B 가 각각 (그림2), (그림3) 과 같을 때 (A-B)∪(B-A)=A
3) (그림2), (그림3) 에서 B⊂A 이고 A∩B=φ 이므로 B=φ ^^






2. 0 이 아닌 두 수 a, b 가 a+b=ab=a²+b² 을 만족할 때, a⁹⁹+b⁹⁹ 은?
   
   

   ① 0

   ② 1

   ③ -1

   ④ 99

   ⑤ -99

(답) ①

1) (a+b)² = a²+b²+2ab ⇔ (a+b)² = (a+b)+2(a+b) ⇔ (a+b)² = 3(a+b)
2) a+b=ab≠0 이므로 a+b=3 이고 ab=3
3) a³+b³ = (a+b)³-3ab(a+b) = 3³-3^.3^.3 = 0    ∴ b³=-a³ 이므로 b⁹⁹=-a⁹⁹ ^^




3. 이차함수 y=x²-2a|x|+1 의 최소값을 f(a) 라고 할 때, f(a)의 그래프는?
   
   

   ①	②	③
   ④	⑤

(답) ②

1) y=(|x|-a)²-a²+1 ← |x|²=x²
2) |x|≥0 이므로 …
    i) a≥0 일 때 → |x|=a 일 때, 최소값 f(a)=-a²+1
    ii) a<0 일 때 → |x|=0 일 때, 최소값 f(a)=1 ^^




4. 모든 양수 x 에 대하여 f(log₂x) = log₃x 가 성립한다. 이 때, f(log₃2) 는?
   
   

   ① 0	② 1	③ log6
   ④ (log23)2	⑤ (log32)2

(답) ⑤

1) f(log₂x) = log₃x …㉠ 에서 log₂x=log₃2 …㉡ 라고 놓으면 …
2) log₂x=log₃2 ⇔ x=2^log3² …㉢ ← log_AB=C ⇔ A^C=B
3) ㉠, ㉡, ㉢ 에서 f(log₃2) = log₃2^log3² = (log₃2)(log₃2) = (log₃2)² ^^




5. 갑, 을 두 사람이 원형 트랙의 반대쪽 지점 A, B 에서 일정한 속력으로 동시에 마주 보고 출발하였다. 을이 200m 를 뛴 후 두 사람은 처음으로 만났고, 두 번째로 만난 곳은 갑이 처음 출발한 점 A 의 120 m 못 미친 지점이었다. 이 때, 트랙 한 바퀴의 길이는? [AHSME]
   
   

   ① 800 m	② 880 m	③ 960 m
   ④ 1120 m	⑤ 1760 m

(답) ③

1) 트랙의 길이 → 2L 이라고 하면
2) 속력의 비 ⇔ 같은 시간에 가는 거리의 비
3) 갑, 을의 속력의 비 → (L-200) : 200 = (L+80) : (L-80)
3) (L-200)(L-80) = 200(L+80)
    L²-280L+16000 = 200L+16000
    L²-480L=0 ⇔ L(L-480)=0 → L=480    ∴ 2L=960 (m) ^^

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