PROBLEMS 20.0915 All-round check (13-6)

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MathCounts 문제

1. n 은 정수이고 N = (10ⁿ+2)² 이다. N 을 10 진법의 수로 나타낼 때, 각 자리 숫자의 합은?
   
   

   ① 7

   ② 8

   ③ 9

   ④ 10

   ⑤ 11

(답) ③

N = (10ⁿ+2)² = 10²ⁿ+4^.10ⁿ+4 → 1+4+4 = 9 ^^

☞ n=2 → N=10404, n=0 → N=9, n=-1 → N=4.41 ^^




2. 한 변의 길이가 2 인 정사면체 ABCD 가 있다. 점 P, Q 가 각각 AB, CD 위의 점일 때, PQ 의 길이의 최소값은?
   
   

   ①	②	③ 2
   ④	⑤

(답) ①

1) △ABQ 는 이등변 삼각형
2) MQ≤PQ (M은 AB 의 중점)
3) △MBQ → BQ 가 최소일 때 MQ 는 최소
4) Q 가 CD 의 중점일 때, BQ 는 최소

∴ PQ 의 최소값 → MN =




3. 함수 f(x)=2-x 의 최대값은?
   
   

   ①

   ② 2

   ③ 3

   ④ 4

   ⑤ 5

(답) ③

1) = t 라고 놓으면 x+2 = t² ⇔ x = t²-2 (t≥0)
2) f(x) = 2t-(t²-2) = -(t-1)²+3    ∴ t = 1 (x=-1)일 때 최대이고, 최대값은 f(-1) = 3 ^^




4. 그림과 같이 P₀ 를 출발하여 화살표 방향으로 움직이는 점 P 가 있다.  P 가 A, B, C, D, E 지점을 통과할 때 마다 P 의 속력이 10 % 씩 증가한다. 어느 지점을 통과할 때 P 의 속력이 처음으로 원래의 속력의 10 배 이상이 되는가? (단, 10^1.041=11 로 계산한다.)
   
   

   ① A	② B	③ C
   ④ D	⑤ E

(답) ⑤

1) n 개의 지점을 통과 한 후의 속력 = v₀×1.1ⁿ ← v₀ 는 처음 속력
2) v₀×1.1ⁿ≥10v₀ ⇔ 1.1ⁿ≥10 ⇔ nlog1.1≥log10 ⇔ nlog1.1≥1…㉠
3) 10^1.041=11 ⇔ log11=1.041 ⇔ log1.1=0.041
4) ㉠ 에서 0.041n≥1 ⇔ 41n≥1000 ⇔ n≥24.3… → n= 25, 26, …

∴ 25 개의 점을 통과한 후 이므로 점 E ^^    ☞ 관련사항을 참조하세요!




5. 그림은 중심이 O 이고 반지름이 1 인 원이다. 현 PQ 와 MN 이 반지름 OR 에 평행하고 PQ = PM = NR=s, MN=d 라 할 때, 다음 중 옳은 것을 모두 고르면? [AHSME]
   
   

   I. d-s=1       II. ds=1      III. d2-s2=

   
   

   ① I	② II	③ III
   ④ I, II	⑤ I, II, III

(답) ⑤

1) 그림에서 d-s=1 → 그림은 정10각형과 외접원^^
2) 어두운 두 개의 삼각형은 닮은 꼴
    (1-s) : s = s : (d-s) ⇔ (1-s) : s = s : 1 → s²=1-s
3) ds = (s+1)s = s²+s =1
4) d²-s² = (d-s)(d+s) = d+s = 2s+1 =

☞ s²+s-1=0 에서 s=(-1+)/2 ^^

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