PROBLEMS 20.0911 All-round check (13-2)

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MathCounts 문제

1. 원의 지름이 π 만큼 증가하면 원의 둘레는 P 만큼 증가한다. 이 때, P 의 값은 ? [AHSME]
   
   

   ① 1/π

   ② π

   ③ π2/2

   ④ π2

   ⑤ 2π

(답) ④

1) 원둘레= 2πr
2) 2π(r+π) = 2πr+π² ^^




2. 그림은 점 P(2,1) 을 한 변으로 하는 정사각형이다. 어두운 두 부분의 넓이의 비 S₁ : S₂ 는?
   
   

   ① 1 : 3	② 1 : 4	③ 1 : 5
   ④ 2 : 9	⑤ 3 : 16

(답) ①

1) 사각형의 넓이 = OP², 
2) OP 의  기울기 = 1/2 → PQ=OP×1/2 (Q는 사각형의 변과 x 축과의 교점)
3) S₁=(1/2)×OP×PQ=(1/4)×OP² → S₁ 은 사각형의 넓이의 1/4 ^^





3. 연립부등식 0≤x²+ax+b<1 의 해가 0<x<2 일 때, a+b 는?
   
   

   ① -1

   ② 2

   ③ -3

   ④ 4

   ⑤ -5

(답) ①

1) 0≤x²+ax+b<1 ⇔ 0<x<2
2) 0<x<2 ⇔ x(x-2)<0 ⇔ x²-2x<0 ⇔ x²-2x+1<1 ← x²-2x+1=(x-1)²≥0

∴ 0≤x²-2x+1<1 ⇔ 0<x<2 이므로 a=-2, b=1 ^^




4. log2=a. log3=b 라고 할 때 3^a×2^b 은?
   
   

   ① 2log2

   ② 3log3

   ③ 2log3

   ④ 3log4

   ⑤ 1

(답) ④

1) 3^a = 3^log2, 2^b = 2^log3 → 3^log2=2^log3
2) 3^a×2^b = (3^log2)² = 3^2log2 = 3^log4 ^^ 




5. 그림은 직각삼각형 ABC 와 BC를 지름으로 하는 원이다. 점 D 에서 이 원에 그은 접선과 CA 의 교점을 D 라 할 때, 다음 중 참이 아닌 것은? [AHSME]
   
   

   ① CF = FA	② ∠CDF = ∠FDA	③ DF = FA
   ④ ∠A = ∠BCD	⑤ ∠CFD = 2∠A

(답) ②

1) △DCA 는 직각삼각형
2) CF=DF 이므로 F 는 CA 의 중점

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