PROBLEMS 20.0909 All-round check (12-7)

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MathCounts 문제

1. f(x)=ax⁷+bx³+cx-5 이고 f(-7)=7 일 때, f(7) 은? [AHSME]
   
   

   ① -17

   ② -7

   ③ 14

   ④ 21

   ⑤ 구할 수 없다.

(답) ①

f(-7)+f(7)=-10 ⇔ 7+f(7)=-10    ∴ f(7)=-17 ^^




2. x³+3x+5=0 의 세 근을 a, b c 라고 할 때, a+b, b+c, c+a 를 세 근으로 하는 방정식은?
   
   

   ① x3-3x+5=0	② x3+3x-5=0	③ x3-3x-5=0
   ④ x3-5x+3=0	⑤ x3+5x-3=0

(답) ③

1) a+b+c=0, ab+bc+ca=-3, abc=-5 ← 근과 계수의 관계
2) a+b=-c, b+c=-a, c+a=-b
3) (x+c)(x+a)(x+b)=0 ⇔ x³+(a+b+c)x²+(ab+bc+ca)x+abc=0 ⇔ x³-3x-5=0 ^^




3. 한 변의 길이가 2km 인 정 6각형 모양의 공원이 있다. 한 모퉁이에서 공원의 둘레를 따라 5km 갔을 때, 출발점으로부터의 직선 거리는? [AHSME]
   
   

   ①	②	③
   ④	⑤

(답) ①

1) 그림에서 PQ²=12
2) PR²=PQ²+QR² → PR²=12+1=13 ^^




4. y=x² 과 y=mx+1 의 교점을 P, Q 라고 한다. △OPQ 의 넓이를 S 라고 하면 항상 m²=aS²+b 인 관계가 성립한다. 이 때, a+b 는?
   
   

   ① 1	② -2	③ 3
   ④ -4	⑤ 5

(답) ②

1) x²=mx+1 ⇔ x²-mx-1=0 의 두 근을 α, β 라고 하면
2) α+β=m, αβ=-1 이고 P(α,α²), Q(β,β²)
3) △OPQ 의 넓이 S=|αβ²-α²β|/2 = |αβ||β-α)|/2 = |α-β|/2    ☞ 관련사항을 참조하세요! ^^
4) S² = (α-β)²/4 = (m²-4)/2 ← (α-β)²=(α+β)²-4αβ=m²+4
5) 2S²=m²+4 ⇔ m²=2S²-4 ^^




5. 자연수 N 에 대하여 항상 2(1+2+3+…N) = N(N+1) 이 성립한다. 1 부터 mn (m, n은 자연수)까지의 자연수 중에서 m 의 배수의 총합과 n 의 배수의 총합과의 차가 99 일 때 m+n 은?
   
   

   ① 19

   ② 20

   ③ 21

   ④ 22

   ⑤ 23

(답) ②

1) S(m)=m(1+2+3+…+n)=m×n(n+1)/2
2) S(n)=n(1+2+3+…+m)=n×m(m+1)/2
3) S(m)-S(n)=mn(n-m)/2=99 (n>m) → mn(n-m)=198
4) mn(n-m)=2×9×11 에서 m=9, n=11    ∴ m+n=20 ^^

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