PROBLEMS 20.0908 All-round check (12-6)

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MathCounts 문제

1. 한 변의 길이가 S 인 정사각형 방 안에 (그림1)과 같이 가로 세로의 길이가 각각 8, 10 인 탁자가 있다. 이 탁자를 세우거나 분해하지 않고 (그림2)와 같이 옮겨 놓을 수 있는 S 의 최소값은? [AHSME]
   
   

   ① 11	② 12
   ③ 13	④ 14
   ⑤ 15

(답) ③

1) 탁자의 대각선의 길이를 L 이라고 하면 L²=8²+10²=164
2) 탁자를 돌려 놓을 수 있으려면 L < S ⇔ L² < S²
3) 12²=144, 13²=169 이므로 S 의 최소값은 13 ^^




2. 삼차방정식 x³+bx²+cx+5=0 이 서로 다른 세 정수 근을 가질 때, ab 의 값은?
   
   

   ① 1

   ② -2

   ③ 3

   ④ -4

   ⑤ 5

(답) ⑤

1) 삼차방정식의 세 근을 α, β, γ 라고 하면 αβγ=-5 ← 근과 계수의 관계
2) 세 근이 서로 다른 정수 → 세 근은 -1, 1, 5
3) (x+1)(x-1)(x-5)=0 ⇔ (x²-1)(x-5)=0 ⇔ x³-5x²-x+5=0    ∴ a=-5, b=-1 ^^




3. 그림은 양수 x, y 의 관계를 logx, logy 를 좌표축으로 하는 좌표평면에 나타낸 그래프이다. x 가 5 에서 10 으로 5 만큼 증가할 때, y 의 변화량은?
   
   

   ① -1	② 2	③ -3
   ④ 4	⑤ -5

(답) ③

1) 직선의 기울기는 -1, logy 축의 절편은 2    ∴ 직선의 방정식은 logy=-2logx+2
2) 2logx+logy=2 ⇔ logx²y=2 ⇔ x²y=100
3) y=100/x² 에서 x=5 일 때, y=4 이고 x=10 일 때 y=1

∴ y의 변화량 = 1-4 = -3 ^^




4. 빗변 BC의 길이가 1 인 직각삼각형 ABC 가 있다. ∠ABC=θ 라고 할 때, AD 의 길이는?
   
   

   ① sinθ	② cosθ	③ sin2θ
   ④ cos2θ	⑤ sinθcosθ

(답) ⑤

1) AB=BC^.cosθ=cosθ
2) AD=AB^.sinθ     ∴ AD=sinθcosθ    ☞ 관련사항을 참조하세요!




5. 전체집합 U 의 부분집합 A, B, C 가 있다. n(A)=97, n(B)=98, n(C)=99, n(U)=100 일 때
   n(A∩B∩C) 의 최소값은?
   
   

   ① 91

   ② 92

   ③ 93

   ④ 94

   ⑤ 95

(답) ④

1) a+b+c+d=99 …㉠
2) a+b+x+y=97 …㉡, a+c+y+z=98 …㉢
3) ㉡+㉢ : 2a+b+c+x+2y+z=195 …㉣
4) ㉠ 에서 a+b+c=99-d → ㉣ 에 대입
5) a+(99-d)+x+2y+z=195 → a+(x+2y+z-d)=96
6) x+2y+z-d 가 최대일 때, a 는 최소
7) y=1, x=0, z=0, d=0 일 때 x+2y+z-d 최대이고 최대값은 2

∴ a의 최소값 = 96-2 = 94 ^^

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