PROBLEMS 20.0907 All-round check (12-5)

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MathCounts 문제

1. 화물선이 여객선의 남쪽 20 km 해상에 위치하고 있다. 화물선은 시속 20 km 로 동진하고 여객선은 시속 40 km 의 속도로 남진하고 있다. 가시거리가 10 km 일 때, 두 배의 사람들은 몇 분 동안 서로의 배를 볼 수 있는가?
   
   

   ① 9 분	② 12 분	③ 18 분
   ④ 30 분	⑤ 서로를 볼 수 없다.

(답) ②

1) (20-40x)²+(20x)²≤10² ← x 시간 후
2) 2000x²-1600x+300≤0
3) 20x²-16x+3≤0
4) (2x-1)(10x-3)≤0
5) 3/10≤x≤1/5 → 0.3≤x≤0.5
6) (0.5-0.3)×60 = 12 (분) ^^




2. 다음 중 f(x)= 의 그래프의 개형으로 적당한 것은?
   
   

   ①	②	③
   ④	⑤

(답) ②

1) f(0)=1, f(-x)=f(x) 이므로 y 축에 대칭
2) x 의 절대값이 한없이 커지면 f(x) 의 값은 한없이 0 에 가까워집니다.^^

☞ f(0)=1, f(±3)=0.1, f(±7)=0.02 ^^




3. f 의 역함수 f^-1 가 존재할 때, f(x)+100 의 역함수를 g(x) 라고 한다. g(101) 은?
   
   

   ① f-1(100)	② f-1(101)	③ f-1(100)+1
   ④ f-1(1)+100	⑤ f-1(1)

(답) ⑤

1) f(x)+100 의 역함수가 g(x) → g(f(x)+100)=x    ☞ 관련사항을 참조하세요! ^^
2) x=a 일 때 → g(f(a)+100)=a
3) f(a)+100=101 이라고 놓으면 g(101)=a 이 되고 …
4) f(a)=1 에서 f^-1(1)=a    ∴ g(101) = f^-1(1) ^^




4. loga=0.2, logb=-0.3 일 때, a³⁰b²⁰ 은?
   
   

   ① 10-10

   ② 10-1

   ③ 1

   ④ 10

   ⑤ 1010

(답) ③

1) loga=0.2 ⇔ 10^0.2=a, logb=-0.3 ⇔ 10^-0.3=b ← a^m=b ⇔ log_ab=m, loga=log₁₀a
2) a³⁰b^-20 = (10^0.2)³⁰×(10^-0.3)²⁰ = 10⁶×10^-6 = 10^6+(-6) = 10⁰ = 1 ^^




5. 그림의 삼각형 ABC 에서  AB=12, AC=16 이고 M 은 BC 의 중점이다. 점 E, F 는 삼각형의 변 AC, AB 위의 점이고 EF 와 AM 의 교점을 G 라고 한다. AE=2AF 일 때, EG : GF 는 ? [AHSME]
   
   

   ① 3 : 2	② 4 : 3	③ 5 : 4
   ④ 6 : 5	⑤ 주어진 조건만으로는 구할 수 없다.

(답) ①

1) (그림1) → EN//CB
2) H 는 EN 의 중점 ← M 이 CB 의 중점
3) AE : AN = 4 : 3 ← AC=16, AB=12
4) (그림2) → △EGH, △FGI 는 닮음 비 3 : 2 인 닮은 삼각형    ∴ EG : GF = 3 : 2 ^^

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