PROBLEMS 20.0906 All-round check (12-4)

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MathCounts 문제

1. 이차방정식 x²+ax+b=0 의 두 근의 차가 4, 두 근의 제곱의 차가 8 일 때, |a|+|b| 는?
   
   

   ① 2

   ② 3

   ③ 4

   ④ 5

   ⑤ 6

(답) ④

1) |α-β|=4, |α²-β²|=8 → |α+β|=2    ∴ |a|=2
2) |α-β|²-|α+β|²=-4αβ → 4²-2²=-4αβ 에서 αβ=-3    ∴ b=-3




2. 실수 a 에 대하여 x+y=|a+1|, x-y=|a-1|을 만족하는 점 (x,y)의 집합을 좌표 평면에 나타낼 때, 그 개형은?
   
   

   ①	②	③
   ④	⑤

(답) ②

i) a≥1 일 때 → x+y=a+1, x-y=a-1 ⇔ y=1, x=a
ii) -1≤a<1 일 때 → x+y=a+1, x-y=-a+1 ⇔ x=1, y=a
iii) a<-1 일 때 → x+y=-a-1, x-y=-a+1 ⇔ y=-1, x=-a

i), ii), iii) 에서 y=1 (x≥1), x=1 (-1≤y<1), y=-1 (x>1)




3. A(-3,-1), B(1,1)을 이은 선분 AB의 연장선 위에 점 C(a,b)를 잡아 3AB=2BC 되게 할 때, a+b 는?
   
   

   ① 9

   ② 10

   ③ 11

   ④ 12

   ⑤ 13

(답) ③

1) 3AB=2BC ⇔ AB : BC = 2 : 3
2) B(1,1) 를 x→6, y→3 만큼 평행이동 하면 점 C
3) C(1+6, 1+3) → C(7,4) ^^




4. 두 지점 A, B 사이의 거리가 40m 이고 CM=16m 인 포물선 모양의 아치(arch)가 있다. 중심 M 으로 부터 5m 떨어진 지점 P 에서 아치의 높이 h는? [AHSME]
   
   

   ① 15	② 15.25	③ 15.5
   ④ 15.75	⑤ 16

(답) ①

1) 포물선의 방정식을 → y=ax²+16 이라고 …
2) x=±20 일 때, y=0 이므로 → 0=400a+16 ⇔ a=-1/25
3) y=-(1/25)x²+16 에서 x=5 일 때 → y=15^^




5. 원주율 π 를 3 으로 생각하여, 원형 연못의 넓이의 근사값을 구하려고 한다. AB=9m, AC=6m, ∠BAC=120° 일 때, 이 연못의 넓이는?
   
   

   ① 168	② 171	③ 174
   ④ 177	⑤ 179

(답) ②

1) BC² = AB²+AC²-2AB^.AC^.cos120° ← 제2 코사인 법칙
    BC² = 9²+6²-2^.9^.6^.(-1/2) = 81+36+54 = 171
2) BC=2Rsin120° ⇔ BC²=4R^2.(3/4) ← 사인 법칙
    171=3R² 에서 R²=57    ∴ 넓이 S=πR²≒171    ☞ 관련사항을 참조하세요!^^

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