PROBLEMS 20.0905 All-round check (12-3)

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MathCounts 문제

1. 589 와 713 의 최소공배수를 7 로 나눌 때의 나머지는?
   
   

   ① 2

   ② 3

   ③ 4

   ④ 5

   ⑤ 6

(답) ①

1) 713-589 = 124 → 124 = 31×3
2) 589 = 31×19, 713 = 31×23 → 최소공배수는 31×19×23
3) 31 = 7×4 +3, 19 = 7×2 + 5, 23 = 7×3 + 2
4) 3×5×2 = 30 을 7 로 나눈 나머지는 2    ☞ 관련사항을 참조하세요! ^^




2. 그림은 y=x² 과 y=x 의 그래프이다. (abcd)² 은?
   
   

   ① a5	② a6	③ a7
   ④ a8	⑤ a9

(답) ⑤

1) a²=c, b²=d, d=a → b²=a
2) (abcd)² = a²b²c²d² = a²×a×a⁴×a² = a⁹ ^^ 




3. 방정식 3^2x+27 = 12×3^x 의 두 근을 α, β 라고 할 때, α²+β² 은?
   
   

   ① 4

   ② 5

   ③ 6

   ④ 7

   ⑤ 8

(답) ②

1) 3^x=X 라고 하면 X²+27 = 12X ⇔ (X-3)(X-9)=0
2) X=3, X=9 ⇔ 3^x=3, 3^x=9 에서 x=1, 2    ∴ α²+β² = 5 ^^




4. 중심이 C₁, C₂ 이고 반지름이 1, 4 인 두 개의 원이 x 축에 접하고 서로 외접한다. 두 원의 공통내접선 l 의 방정식을 ax+by+c=0 으로 나타낼 때, (a-c) : (b-c) 는?
   
   

   ① 12 : 11	② 11 : 10	③ 10 : 9
   ④ 9 : 8	⑤ 8 : 7

(답) ①

1) C₁C₂ = 5 ← 중심 사이의 거리 d=r+R ^^
2) C₁(0,1), C₂(a,4) 에서 C₁C₂² = a²+3²
3) a²+3²=5² → a=4
4) C1C2 의 기울기 = 3/4 → 직선의 기울기 = -4/3
5) 그림에서 직선의 x 절편은 2
6) y=(-4/3)(x-2) ⇔ 3y=-4(x-2) ⇔ 4x+3y-8=0 ^^




5. 2≤k≤11 인 임의의 정수 k 로 나눌 때, 나머지가 1 인 1 보다 큰 정수들이 있다. 이들 중 가장 작은 두 수의 차를 구하면? [AHSME]
   
   

   ① 2310	② 2311	③ 27720
   ④ 27721	⑤ 30000 보다 큰 정수

(답) ③

1) 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 → 2, 3, 2², 5, 2×3, 7, 2³, 3², 2×5, 11
2) 조건을 만족하는 수 → N=2³×3²×5×7×11×Q+1 꼴의 수 ^^
3) Q=1, 2 일 때, N 은 최소
4) 이 때 두 수의 차 → 2³×3²×5×7×11 = 8×9×5×7×11 = 40×9×77 = 27720 ^^

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