PROBLEMS 20.0903 All-round check (12-1)

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MathCounts 문제

1. 다항식 f(x) 를 x(x²-1) 로 나눌 때의 나머지가 (x+1)² 일 때, (fofof)(x) 를 x+1 로 나눌 때의 나머지는?
   
   

   ① 0

   ② 1

   ③ 4

   ④ 9

   ⑤ 16

(답) ③

1) f(-1)=0 ← f(x)=x(x²-1)Q(x)+(x+1)²
2) f(f(-1))=f(0)=1
3) f(f(f(-1))=f(1)=4 ^^




2. a+b=1, ab=-1 일 때, x=을 한 근으로 하는 삼차방정식은?
   
   

   ① x3+3x+1=0	② x3+3x-1=0	③ x3-3x+1=0
   ④ x3-3x-1=0	⑤ 존재하지 않는다.

(답) ②

1) x=의 양변을 세제곱
2) x=a+b+3() → x=1-3x ⇔ x+3x-1=0 ^^




3. 정사각형 ABCD 가 있다. 그림에서 M 은 AD의 중점, N 은 BM의 중점이다. BM⊥PQ 일 때, PN : NQ 는?
   
   

   ① 3 : 4	② 2 : 3	③ 1 : 2
   ④ 2 : 5	⑤ 1 : 3

(답) ⑤

1) AM=2a 라고 하면 P'N=a, NQ'=3a
2) △PNP'∽△QNQ' 이고 …
3) 닮음 비 = 1 : 3 이므로 PN : NQ = 1 : 3 ^^





4. a>b>0, a+b=1 일 때, 다음 중 가장 큰 수는?
   
   

   ① 0.5

   ② a

   ③ 2ab

   ④ a2+b2

   ⑤ a3+b3

(답) ②

1) a+b=1 이고 a>b 이므로 a>0.5
2) a+b≥2 → 1≥2 ⇔ ab≤1/4 에서 2ab≤0.5
3) (a²+b²)-a=a²+(1-a)²-a=2a²-3a+1=(2a-1)(a-1)<0 (∵ 0.5<a<1) → a>a²+b²
4) a³+b³=(a²+b²)(a+b)-ab(a+b)=a²+b²-ab<a²+b² (∵ ab>0) → a²+b²>a³+b³




5. 0<θ<180° 일 때, 각 θ 의 동경과 각 7θ 의 동경이 x 축에 대하여 대칭이 되는 각 θ 는 몇 개 존재?
   
   

   ① 3

   ② 4

   ③ 5

   ④ 6

   ⑤ 7

(답) ①

1) θ+7θ=360°n (n은 정수)    ☞ 관련사항을 참조하세요!
2) 8θ=360°n ⇔ θ=45°n 에서 → θ=45°, 90°, 135°

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