PROBLEMS 20.0902 All-round check (11-7)

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MathCounts 문제

1. 모든 x 에 대하여 x²-x+2=ab(x-1)²+(a+b)(x+1) 일 때, (a+1)(b+1) 의 값은?
   
   

   ① 1

   ② -2

   ③ 3

   ④ -4

   ⑤ 5

(답) ③

1) x=1 을 대입 → 1²-1+2=0+(a+b)^.2 → a+b=1
2) x=-1을 대입 → (-1)2+1+2=ab.(-1)2+0 → ab=1
3) (a+1)(b+1)=ab+(a+b)+1=3 ^^




2. 선분 AB를 그림과 같이 평행이동하여 점 A, B가 각각 좌표축 위의 점 P(0,a), Q(b,0) 에 놓이도록 한다. 이 때, 두 평행선 사이의 거리는? 
   
   

   ① 2.5	② 2.8	③ 3
   ④ 3.2	⑤ 3.5

(답) ②

1) AB 를 x→2, y→-2 만큼 평행이동하면 PQ
2) A(-2,-1) → P(0,-3), B(2,2) → Q(4,0)
3) AB 의 방정식 → 3x-4y+2=0
4) 점 P(0,-3) 에서 3x-4y+2=0 까지의 거리 d=^^




3. x≥1 인 모든 x 에 대하여 ≥ax+b 가 성립할 때, 점 (a,b)가 존재하는 영역은?
   
   

   ①	②	③
   ④	⑤

(답) ③

1) 항상 y=ax+b 의 그래프가 y= 의 아래쪽에 존재해야 …
2) 그림에서 a+b≤0, a≤0 이므로
3) (a,b)∈{(x,y)| x+y≤0, x≤0} ^^

☞ 관련사항을 참조하세요! ^^




4. log_ab=log₂3 일 때, 다음 중 옳지 않은 것은?
   
   

   ① alog23=b	② 2logab=3	③ alog3=blog2
   ④ 3loga=2logb	⑤ 2a=3b

(답) ⑤

☞ a^m=b ⇔ log_ab=m → a^loga^b=m ^^
☞ a^logb^c=c^logb^a ← 밑 변환 공식중의 하나^^




5. 그림과 같이 정사각형 내부에 정삼각형을 내접 시킬 때, 어두운 두 부분의 넓이의 비는?
   
   

   ① 1 :	② 1 :	③ 1 : 2
   ④ 1 : 3	⑤ 1 : 4

(답) ③

1) 1²+a²=(1-a)²+(1-a)² ← 피타고라스 정리
2) a²-4a+1=0 → a=2- (∵ 0<a<1)
3) 넓이의 비 = a : (1-a)²
4) (1-a)²=(-1+)²=4-2=2(2-) ^^

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