PROBLEMS 20.0901 All-round check (11-6)

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MathCounts 문제

1. 두 도시 A, B 사이를 급행열차는 40분, 보통열차는 60분에 운행한다. 두 열차가 A, B 도시에서 마주 향해 동시에 출발하면 두 도시의 중간 지점에서 10 km 떨어진 지점에서 만난다고 한다. 두 도시 사이의 거리는?
   
   

   ① 85 km

   ② 90 km

   ③ 95 km

   ④ 100 km

   ⑤ 105 km

(답) ④
1) 운행시간의 비 = 2 : 3 ⇔ 속력의 비 = 3 : 2 ← 속력×시간 = 거리(일정)
2) 같은 시간동안 움직인 거리의 비 = 3 : 2 ← 속력×시간 = 거리
3) 그림에서 MP = 3a-2.5a = 10 ⇔ 0.5a=10 ⇔ a=20    ∴ AB = 5a = 100 ^^





2. 점 O 는 삼각형 ABC의 내부의 한 점이다. S₁=OA+OB+OC, S₂=AB+BC+CA 라고 할 때, 다음 중 옳은 것은? [AHSME]
   
   

   ① S2>2S1, S1≤S2	② S2>2S1, S1<S2	③ 2S1>S2, S1≤S2
   ④ 2S1≤S2, S1<S2	⑤ 어느것도 성립하지 않는다.

(답) ③

1) AB<OA+OB, BC<OB+OC, CA<OC+OA
    위의 식을 변끼리 더하면 AB+BC+CA<2(OA+OB+OC) → S₂<2S₁
3) AB+AC>OB+OC, AB+BC>OA+OC, BC+AC>OA+OB
    위의 식을 변 끼리 더하면 2(AB+BC+CA)>2(OA+OB+OC) → S₂>S₁

∴ S₁<S₂<2S₁ → S₁≤S₂<2S₁   ☞ 관련사항을 참조하세요!^^





3. 직각삼각형 ABC 의 두 중선 AM 과 BN 이 서로 직교한다. AB=일 때, 삼각형 ABC 의 넓이는?
   
   

   ①	②	③ 2
   ④	⑤

(답) ①

1) AG=2a, GM=a 라고 놓으면 ← G 는 무게중심
2) AB²=AG×AM ⇔ 2=6a² ⇔ 3a²=1 ← △ABM∽△AGB
3) BM²=AM²-AB² ⇔ BM²=9a²-2=1
4) BC=2BM=2    ∴ 삼각형의 넓이= ^^




4. 점 A(3,3) 에서 곡선 xy=1 위의 점 P 까지의 거리의 제곱, AP² 의 최소값은?
   
   

   ① 6

   ② 7

   ③ 8

   ④ 9

   ⑤ 10

(답) ②

1) P(a,b) 라고 놓으면 → ab=1
2) AP²=(a-3)²+(b-3)²=(a²+b²)-6(a+b)+18={(a+b)²-2ab}-6(a+b)+18
3) AP²=(a+b)²-6(a+b)+16={(a+b)-3}²+7
4) |a+b|=|a|+|b|≥2 → |a+b|≥2    ∴ a+b=3 일 때, AP² 의 최소값=7 ^^




5. 정박해 있는 배에서 해안까지의 수직거리를 구하려고 한다. AB=100m, ∠PAH=30°, ∠PBH=45° 일 때, 배에서 해안까지의 거리 PH 는?
   
   

   ① 50	② 50	③ 120
   ④ 50(+1)	⑤ 50(+1)

(답) ⑤

1) 그림에서 (100+a) : a = : 1
2) a=100+a ⇔ (-1)a=100
3) 양변에 +1 를 곱하면 2a=100(+1)

∴ PH=50(+1) ^^

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