PROBLEMS 20.0829 All-round check (11-3)

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MathCounts 문제

1. A∪B={1,2,3,4,5 }, A∩B={1,2} 를 만족하는 집합 A, B 를 만드는 방법은 몇 가지?
   
   

   ① 2

   ② 4

   ③ 6

   ④ 8

   ⑤ 10

(답) ④

1) 두 집합은 A={1,2, …}, B={1,2, …}의 꼴
2) 3,4,5 를 A, B 에 넣는 방법 → 2×2×2 = 8 ^^

☞ {3,4,5} 의 부분집합을 만드는 방법과 같습니다. ^^




2. 계수가 유리수인 방정식 x⁴+ax²+b=0 의 한 근이 1+일 때, a+b는?
   
   

   ① -13

   ② 15

   ③ -17

   ④ 19

   ⑤ -21

(답) ③

1) x=1+ ⇔ x-1= 의 양변을 제곱 → (x-1)²=2 ⇔ x²-2x-1=0
2) x⁴+ax²+b=(x²-2x-1)(x²+□x+□) 에서 … ← 좌변에 x³, x² 항이 없습니다.^^
3) x⁴+ax²+b=(x²-2x-1)(x²+2x+5) …㉠ ← 좌변, 우변의 x³, x² 의 계수를 비교합니다.
4) ㉠ 에 x=1 을 대입 → 1+a+b=(-2)×8    ∴ a+b=-17 ^^




3. 정사각형 ABCD의 각 변을 1 : m 으로 나누는 점 P, Q, R, S 를 꼭지점으로 하는 정사각형의 넓이가 전체넓이의 80% 일 때, 의 값은?
   
   

   ① 7	② 8	③ 9
   ④ 10	⑤ 11

(답) ②

1) 어두운 부분의 넓이는 전체 넓이의 20%
2) 전체 넓이 = (1+m)², 어두운 부분의 넓이 = 2m
3) (1+m)² = (2m)×5 ⇔ m²-8m+1=0 ^^

☞ m²-8m+1=0 의 양변을 m 으로 나눕니다. ^^




4. 방정식 |x+y|+|x-y|=x²+y² 이 나타내는 도형으로 둘러싸인 부분의 넓이에 가장 가까운 정수 값은?
   
   

   ① 5

   ② 6

   ③ 7

   ④ 8

   ⑤ 9

(답) ③

1) |x+y|+|x-y|=x²+y² 는 x축, y축, y=±x, 원점에 대하여 대칭 ^^
2) x+y≥0, x-y≥0 일 때 → (x+y)+(x-y)=x²+y² 에서 …
    (x-1)²+y²=1 (y≤x, y≥-x) …㉠
3) ㉠을 x, y축 및 y=±x 에 대칭이동한 그래프와 ㉠의 합집합
4) 넓이 S = 2π+1 = 6.28…+1 = 7.28… ^^

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5. 세 변 AB, BC, CD의 길이가 각각 4, 5, 20 인 사각형 ABCD가 있다. 두 각 B, C 가 둔각이고, sinB=-cosC=일 때, 변 AD의 길이는? [AHSME]
   
   

   ① 24

   ② 24.5

   ③ 24.6

   ④ 24.8

   ⑤ 25

(답) ⑤

1) B=90°+α, C=90°+β 라고 놓으면
2) sin(90°+α)=-cos(90°+β) ⇔ cosα=sinβ
3) cosα=sinβ ⇔ cosα=cos(90°-β) ⇔ α=90°-β
4) α+β = 90° 이므로 △AED 는 직각삼각형

∴ 그림에서 AD² = 7²+24² = 25² ^^

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