PROBLEMS 20.0827 All-round check (11-1)

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MathCounts 문제

1. 그림에서 AD+BD = x 라고 할 때, x 의 값이 존재하는 구간은? [AHSME]
   
   

   ① 10 < x < 11	② 12	③ 15 < x <16
   ④ 16 < x <17	⑤ 17

(답) ③

1) BD=5, AD=x-5
2) △ADD' 에서 → (x-5)²=10²+4² ⇔ (x-5)²=116 ← 10²=100, 11²=121^^
3) 10²<116<11² → 10²<(x-5)²<11²

∴ 10<x-5<11 ⇔ 15 < x < 16 ^^




2. 양수 x, y, z 가 == 를 만족할 때, x : (y+z) 는?
   
   

   ① 1 : 2

   ② 2 : 3

   ③ 3 : 4

   ④ 4 : 5

   ⑤ 5  : 6

(답) ④

1) == → = ⇔ =
2) (x+2y)y=x² ⇔ x²-xy-2y²=0 ⇔ (x-2y)(x+y)=0 → x=2y (∵ x+y>0)
3) x=2y 를 =에 대입 → 2z=3y
4) x=2y, 2z=3y 에서  x : y : z= 4 : 2 : 3 → x : (y+z) = 4 : (2+3) = 4 : 5 ^^




3. 그림과 같이 y=x² 과 y=ax+1 의 그래프가 x 좌표가 양수 α 인 점에서 만나고 있다. 어둡게 표시한 두 사다리꼴의 넓이의 비 S₁ : S₂ 는?
   
   

   ① 1 : α	② 1 : α2	③ 1 : α3
   ④ 1 : α4	⑤ 1 : α5

(답) ④

1) x²=ax+1 ⇔ x²-ax-1=0 의 두 근을 α, β 라고 하면 αβ=-1
2) S₁ = -β(β²+1)/2, S₂ = α(α²+1) → S₁ : S₂ = -β(β²+1) : α(α²+1)
3) →




4. x+2y≤3, 2x+y≤3 을 만족하는 (x,y) 에 대하여 ax+y 의 최대값이 2.5 가 되도록 a 를 정하면?
   
   

   ① 1

   ② 1.5

   ③ 2

   ④ 2.5

   ⑤ 3

(답) ②

1) x+2y=3, 2x+y=3 의 교점의 좌표는 (1,1)
2) ax+y=2.5 가 점 (1,1)을 지날 때 ax+y 의 최대값이 2.5
3) a+1=2.5 에서 a=1.5 ^^

☞ a<1 또는 a>2 이면 ax+y 의 최대값이 존재하지 않음.
☞ 관련사항을 참조하세요!^^




5. 그림과 같이 반지름이 4 와 6 인 외접하는 두 원이 각 AOB의 변 OA, OB 에 동시에 접한다. 각의 꼭지점 O 에서 작은 원의 중심까지의 거리는?
   
   

   ① 10	② 15	③ 20
   ④ 25	⑤ 30

(답) ③

1) 그림의 어두운 두 직각삼각형 → 닮음비 = 1 : 2
2) OP = PQ×2    ∴ OP=20

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