PROBLEMS 20.0826 All-round check (10-7)

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MathCounts 문제

1. m(m+1)=2ⁿ 을 만족하는 정수 m, n 의 순서쌍 (x,y) 의 개수는?
   
   

   ① 0 개

   ② 1 개

   ③ 2 개

   ④ 3 개

   ⑤ 4 개 이상

(답) ③

1) 정수 m, m+1 → 하나는 짝수이고 다른 하나는 홀수
2) 정수 2ⁿ → 1, 2, 4, 8, …    ∴ m=1, m+1=2  또는 m=-2, m+1=-1 ^^




2. 어떤 모임에서 어제는 회원이 90% 이상 출석하였고, 오늘은 회원의 75% 이하가 출석하여 어제보다 5 명이 적었다. 이 모임의 회원은 최대로 몇 명인가?
   
   

   ① 32

   ② 33

   ③ 34

   ④ 35

   ⑤ 36

(답) ②

전체 회원 수를 x 명, 오늘 출석한 회원 수를 y 명이라고 하면

1) 오늘 → y≤0.75x, 어제 → y+5≥0.9x
2) 0.75x≥y, y≥0.9x-5 에서 → 0.75x≥0.9x-5 ⇔ 0.15x≤5 ⇔ 15x≤500
3) 15x≤500 ⇔ 3x≤100    ∴ x = 33, 32, 31, …^^    ☞ 관련사항을 참조하세요!^^




3. 그림에서 AB//DC, AD=3, BC=4 이다. 직각삼각형 OAB 의 넓이가 24 일 때, 어두운 부분의 넓이는?
   
   

   ① 24	② 27	③ 30
   ④ 33	⑤ 36

(답) ③

1) 그림에서 △DAE=6, 평행사변형 ABCD=4a
2) a : b = 3 : 4 ⇔ 4a=3b
3) 4a=3b=12k 라고 놓으면 → a=3k, b=4k
4) ab=48 → 12k²=48 에서 k=2 이므로 a=6

∴ □ABCD = 6+24 = 30 ^^




4. 포물선 y=x²+1과 원 x²+y²=1 에 동시에 접하고 기울기가 0 이 아닌 직선의 방정식을 y=ax+b 라고 할 때, a²+b² 은?
   
   

   ① 45

   ② 46

   ③ 47

   ④ 48

   ⑤ 49

(답) ⑤

1) x²+1=ax+b ⇔ x²-ax+(1-b)=0 에서 D=a²-4(1-b)=0 → a²=4(1-b) …㉠
2) 원 의 중심 (0,0) 에서 ax-y+b=0 까지의 거리 d==1 → b²=a²+1 …㉡
㉠, ㉡ 에서 b²-1=4(1-b) ⇔ b²+4b-5=0 ⇔ (b-1)(b+5)=0 에서 b=1 이면 a=0
∴ b=-5 이고 이 때, a²=24 → a²+b²=49 ^^




5. 원에 외접하는 등변 사다리꼴 ABCD의 평행한 두 변 중 긴 것의 길이가 16, 밑각의 크기에 대한 sine 값이 0.8 인 사다리꼴의 넓이는? [AHSME]
   
   

   ① 72	② 75	③ 80
   ④ 90	⑤ 일정하지 않다.

(답) ③

1) 사다리꼴의 넓이 S={16+(16-12x)}8x=(32-12x)4x
2) AB+DC = AD+BC → 10x+10x = (16-12x)+16
3) 32x=32 ⇔ x=1    ∴ S=80    ☞ 관련사항을 참조하세요!^^

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