PROBLEMS 20.0825 All-round check (10-6)

문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

20.0823 보기

관련사항 보기

MathCounts 문제

1. 밀봉된 봉투 안에 한 자리 양의 정수를 쓴 카드가 들어 있다. 이 숫자에 대한 다음 설명 중에서 세 개는 참이고 나머지 하나는 거짓이라고 한다.
   
   

   ㄱ. 숫자는 1 이다.　ㄴ. 숫자는 2 가 아니다. ㄷ. 숫자는 3 이다.   ㄹ. 숫자는 4 가 아니다.

   
   다음 중 반드시 옳은 것은?  ['99 AHSME]
   
   

   ① ㄱ은 참	② ㄱ은 거짓.	③ ㄴ은 참.
   ④ ㄷ은 참	⑤ ㄹ은 거짓

(답) ③

1) ㄱ, ㄷ 중에서 하나는 참이므로 숫자는 1 또는 3^^
2) 봉투 안의 수가 1 일 때 → ㄷ이 거짓, ㄱ,ㄴ,ㄹ 은 참.
3) 봉투 안의 수가 3 일 때 → ㄱ이 거짓, ㄴ,ㄷ,ㄹ 은 참.

☞ ㄱ, ㄷ 이 모두 거짓일 수는 없음. ← ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ 중 거짓인 것은 한 개만 존재^^




2. x³+ax+b=0 과 x²+bx+a=0 이 두 개의 공통근을 갖는다. 이 때 두 공통근의 합 은?
   
   

   ① 0

   ② -1

   ③ 2

   ④ -3

   ⑤ 4

(답) ①

1) x³+ax+b=0 …㉠, x²+bx+a=0 …㉡ 이라고 놓고 …      ☞ 관련사항을 참조하세요!
    ㉠-㉡^.x 하여 삼차항을 소거 → (x³+ax+b)-(x³+bx²+ax)=0 ⇔ b(1-x²)=0
2) b≠0 일 때 → 1-x²=0 이므로 공통근은 x=1, -1  
3) b=0 일 때 → 두 방정식은 x(x²+a)=0, x²+a=0 이므로 공통근은 x²+a=0 의 두 근.^^




3. 직각삼각형 ABC의 빗변 AB의 삼등분점을 P, Q 라고 한다. CP=3, CQ=4 일 때, AB² 은?
   
   

   ① 35	② 40	③ 45
   ④ 50	⑤ 55

(답) ③

1) P, Q는 AB를 삼등분 → BC=3a, CA=3b 라고 …
2) a²+(2b)²=CP² ⇔ a²+4b²=3² …㉠
3) (2a)²+b²=CQ² ⇔ 4a²+b2=4² …㉡
4) ㉠+㉡ → 5(a²+b²)=25 ⇔ a²+b²=5

∴ AB²=(3a)²+(3b)²=9(a²+b²)=45 ^^




4. 세 변의 길이가 다음과 같은 삼각형 중에서 넓이가 가장 큰 것은?
   
   

   ① 5, 12, 12

   ② 5, 12, 13

   ③ 5, 12, 14

   ④ 5, 12, 15

   ⑤ 5, 12, 16

(답) ②

1) 삼각형의 넓이 S=absinθ ← θ 는 두 변 a, b가 만든 각
2) S=×5×12×sinθ=30sinθ 에서 sinθ=90° 일 때 S는 최대.^^ ← -1≤sinθ≤1




5. 그림은 지름이 MN 이고 중심이 C 인 반원이다.
   ∠CAP=∠CBP=10°, ∠MCA=40° 일 때, ∠NCB 의 크기는? [AHSME]
   
   

   ① 10°	② 15°	③ 20°
   ④ 25°	⑤ 30°

(답) ③

1) ∠APC=40°-10°=30°
2) B가 A 에 겹치도록 △BCP 를 회전
3) △P'CP 는 이등변 삼각형
4) ∠ACP'=30°-10°=20° ^^

☞ 40° 는 △ACP 의 외각
☞ 30° 는 △ACP' 의 외각

☞ 검색할 때, shift 키를 누르시고 항목을 누르시면 현재화면을 빠져 나가실 수 있습니다.^^

엠파스 에서 관련사항 찾아보기