PROBLEMS 20.0823 All-round check (10-4)

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MathCounts 문제

1. f(x)=x²+x+1 일 때, f(x³)을 f(x) 로 나눌 때의 나머지는?
   
   

   ① 3

   ② x+1

   ③ x-1

   ④ -x+1

   ⑤ -x-1

(답) ①

1) f(x)=x²+x+1 → f(x³)=x⁶+x³+1
2) (x-1)f(x)=x³-1
3) f(x³)=(x⁶-1)+(x³-1)+3=(x³-1)(x³+1)+(x³-1)+3
4) f(x³)=(x-1)f(x)(x³+1)+(x-1)f(x)+3 ^^




2. log₂5 의 정수부분을 a, 소수부분을 b (0<b<1)라고 할 때, a^b 은?
   
   

   ① 1

   ② 1.25

   ③ 2

   ④ 2.25

   ⑤ 3

(답) ②

1) log₂4<log₂5<log₂8 ⇔ 2<log₂5<3 ← log_aaⁿ = n
2) log₂5 = 2.××××× ⇔ log₂5 = 2+b → a=2, b=log₂5-2
3) a^b = 2^log2^5-2 = 2^log2⁵ ÷ 2² = 5 ÷ 4 =1.25 ^^ ← a^m-n=a^m÷aⁿ, a^loga^b=b




3. f(x)=일 때, |(fof)(x)|의 그래프의 개형은?
   
   

   ①	②	③
   ④	⑤

(답) ④

1) (fof)(x)=← x≠1, f(x)≠1 ⇔ x≠1, ≠1 ⇔ x≠1
2) (fof)(x)=(x≠1)

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4. 2 개 이상의 연속한 자연수를 원소로 하는 집합 중에서 원소의 합이 100 인 집합의 개수는? [AHSME]
   
   

   ① 1

   ② 2

   ③ 3

   ④ 4

   ⑤ 5

(답) ②

1) 홀수 개의 합으로 표시될 때 → 2n+1 개의 합으로…
    a-n, …, a-2, a-1, a, a+1, a+2, …, a+n ← 2n+1 개의 수^^
    2n+1 개의 수를 모두 더하면 a(2n+1) = 100 ← 100=2²×5²
    2n+1=5 또는 25 ⇔ n=2, n=12 ← 2n+1은 홀수^^
    n=2, a=20 → 18, 19, 20, 21, 22
    n=12, a=4 → -8, -9, …, 16 (부적합)

2) 짝수 개의 합으로 표시될때 → 2n 개의 합으로 …
    a(2n+1)-(a+n)=100 ← 1) 의 합 에서 끝의 수 a+n을 빼주면 됩니다.^^
    (2an+a)-(a+n)=100 ⇔ (2a+1)n = 100 ← 2a+1은 홀수^^
    2a+1=5 또는 25 ⇔ a=2 또는 12
    a=2, n=20 → -18, -17, …, 22 (부적합)
    a=12, n=4 → 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16




5. 그림에서 O 는 중선 AM, CN의 교점이고 점 P는 OC의 중점이다.
   △ABC 와 △QPC 의 넓이의 비는?
   
   

   ① 12 :1	② 16 : 1	③ 18 : 1
   ④ 20 : 1	⑤ 24 : 1

(답) ⑤

1) (그림1) 에서, O는 △ABC 의 무게중심 → AO : OM = 2 : 1
    △PMC=a 라고 놓으면 △AOC=4a
2) (그림2) 에서, △AMP : △PMC = 3 : 1 → △QPC=2a×=a
3) △ABC : △QPC = 12a : a = 24 : 1 ^^    ☞ 관련사항을 참조하세요!^^

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