PROBLEMS 20.0822 All-round check (10-3)

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MathCounts 문제

1. 다음 중 2²⁴-1 의 약수가 아닌 것은?
   
   

   ① 5

   ② 7

   ③ 9

   ④ 11

   ⑤ 13

(답) ④

1) 2²⁴-1=(2³-1)(2³+1)(2⁶+1)(2¹²+1)
2) 2²⁴-1=7×9×65×(2¹²+1)=7×9×(5×13)×(2¹²+1)

☞ 2¹²+1=(2⁶+1)(2⁶-1)+2=65×63+2=66×63-63+2=66×63-61 → 11로 나누면 6 이 남는 수^^




2. 정사각형 ABCD의 변 BC, CD의 중점을 각각 M, N 이라 하고 BN, DM 의 교점을 P 라고 하자. □ABPD 와 □PMCN 의 넓이의 비는?
   
   

   ① 3 : 1

   ② 4 : 1

   ③ 5 : 1

   ④ 6 : 1

   ⑤ 7 : 2

(답) ②

1) P 는 삼각형 DBC 의 무게중심
2) 8S : 2S = 4 : 1 ^^

☞ 관련사항을 참조하세요! ^^





3. x²+ax-1=0 의 두 실근의 절대값의 비가 1 : 4 일 때, 두 근의 차는?
   
   

   ① 2

   ② 2.5

   ③ 3

   ④ 3.5

   ⑤ 4

(답) ②

1) αβ=-1 이므로 두 근의 부호는 서로 반대
2) 두 근을 α, -4α 라고 놓으면 α+(-4α)=-a, -4α²=-1 ⇔ a=3α, α²=1/4 ← 근과 계수의 관계
3) 두 근의 차 |α-(-4α)|=|5α|=2.5 ^^




4. p, q 가 소수이고 x²-px+q=0 의 두 근이 서로 다른 양의 정수일 때, 다음 중 참인 것을 모두 고르면? [AHSME]
   
   

   ㄱ. 두 근의 차는 홀수이다.   ㄴ. 적어도 한 근은 소수이다. ㄷ. p2-q 는 소수이다.          ㄷ. p+q 는 소수이다.

   
   

   ① ㄱ

   ② ㄴ

   ③ ㄴ, ㄷ

   ④ ㄱ, ㄴ, ㄹ

   ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ

(답) ⑤

1) 두 근을 α, β 라고 놓으면 α+β=p, αβ=q
2) q 가 소수이므로 두 근은 1과 q → α+β=p ⇔ 1+q=p
3) 1+q=p 에서 p, q가 소수이므로 q=2, p=3 ← 짝수인 소수는 2^^
4) 방정식은 x²-3x+2=0 이므로 → x=1, x=2 ^^




5. 원이 2n 개의 넓이가 같은 부채꼴로 나누어져 있다. 이 원에 한 개의 현을 그으면 원은 최대로 몇 개의 부분으로 나누어 지는가? [AHSME]
   
   

   ① 2n+1

   ② 2n+2

   ③ 3n

   ④ 3n+1

   ⑤ 3n+2

(답) ④ ← 2n+(n+1) ^^

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