PROBLEMS 20.0821 All-round check (10-2)

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MathCounts 문제

1. 0 이 아닌 수 a, b, c, d 에 대하여 x²+ax+b=0 의 두 근이 c, d 이고 x²+cx+d=0 의 두 근이 a, b 이다. 이 때, a+b+c+d 는? [AHSME]
   
   

   ① 0

   ② 1

   ③ -1

   ④ 2

   ⑤ -2

(답) ⑤

1) x²+ax+b=0 의 두 근이 c, d → c+d=-a …㉠, cd=b …㉡
2) x²+cx+d=0 의 두 근이 a, b → a+b=-c …㉢, ab=d …㉣

㉠, ㉢ → a+c+d=0, a+b+c=0    ∴ b=d
㉡, ㉣ 에서 b=d≠0 이므로 c=1, a=1 → ㉠, ㉢ 에 대입하면 b=d=-2 ^^    




2. 서로 다른 두 수 x, y 가 x²+y = i, y²+x = i (i²=-1) 를 만족할 때, x³+y³ 은?
   
   

   ① 2

   ② -2

   ③ i

   ④ -2+3i

   ⑤ 2-3i

(답) ④

1) x²+y = i …㉠, y²+x = i …㉡
2) ㉠-㉡ → x²-y²+y-x=0 ⇔ (x²-y²)-(x-y)=0 ⇔ (x-y)(x+y-1)=0 → x+y=1 (∵ x≠y)
3) ㉠+㉡ → (x²+y²)+(x+y)=2i ⇔ (x+y)²-2xy+(x+y)=2i ⇔ 1-2xy+1=2i → xy=1-i
4) x³+y³=(x+y)³-3xy(x+y)=1-3(1-i)=-2+3i ^^




3. 그림과 같이 기울기가 양수인 두 직선 y=ax, y=bx 와 x, y 축에 평행한 두 개의 선분이 만든 삼각형의 넓이를 S₁, S₂ 라고 할 때, S₁ : S₂ 는?
   
   

   ① a : b	② b : a	③ 1 : ab
   ④ ab : 1	⑤ 경우에 따라 다르다.

(답) ②

1)
2) S₁ : S₂ =  b : a ^^






4. 0°≤θ<360° 일 때, 이 최대, 최소가 되는 각을 α, β 라고 할 때, α+β 는?
   
   

   ① 90°

   ② 180°

   ③ 270°

   ④ 360°

   ⑤ 540°

(답) ④

1) cosθ=x, sinθ=y 라고 놓으면 x²+y²=1
2) = → =m 이라고 놓으면…
3) m은 AP의 기울기 → 그림에서 α, β 는 240°, 120° ^^

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5. 지름이 4 인 원에 내접하는 ABCD 가 있다. AD가 지름이고, AB=CD=1 일 때, CD 의 길이는? [AHSME]
   
   

   ① 2	② 2.5	③ 3
   ④ 3.5	⑤

(답) ④

1) 그림에서 cosα=
2) AC=AB×cosα×2=
3) CD²=AD²-AC² = 16-15/4 = 49/4    ∴ CD = 7/2^^

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