PROBLEMS 20.0819 All-round check (9-7)

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MathCounts 문제

1. 2¹⁹⁹⁹×5²⁰⁰¹ 을 10 진법의 수로 나타낼 때, 각 자리 숫자의 합은? [AHSME]
   
   

   ① 2

   ② 4

   ③ 5

   ④ 7

   ⑤ 10

(답) ④

2¹⁹⁹⁹×5²⁰⁰¹ = (2¹⁹⁹⁹×5¹⁹⁹⁹)×5² = 10¹⁹⁹⁹×5² = 25000…00…0 ^^




2. 볼록 6 각형의 내각 중에서 예각의 개수는 최대로 몇 개? [AHSME]
   
   

   ① 2

   ② 3

   ③ 4

   ④ 5

   ⑤ 6

(답) ②

1) 볼록 6 각형의 내각의 합 → 720°
2) 예각이 4 개 존재하면 → 4 개의 내각의 합은 360° 미만
3) 나머지 두 개의 내각의 합이 360° 를 초과 → 모순!

☞ 관련사항을 참조하세요!




3. xy≠0, x²+y² = x³+y³ = 1 이면 x+y=a 이다. 이 때의 a 는?
   
   

   ① 1

   ② -2

   ③ 3

   ④ -4

   ⑤ 5

(답) ②

1) (x+y)² = x²+y²+2xy = 1+2xy → a²=1+2xy …㉠
2) (x+y)³ = x³+y³ +3xy(x+y) = 1+3xy(x+y) → a³=1+3xya …㉡
 
㉠×3a - ㉡×2 → 변끼리 빼서 xy 를 소거 ^^
3a³ -2a³ = 3a-2 ⇔ a³-3a+2=0 ⇔ (a-1)(a²+a-2) ⇔ (a-1)²(a+2)=0
a=1 이면  ㉠ 에서 xy=0    ∴ a=-2 ^^




4. 그림은 두 개의 꼭지점이 x, y축 위에 있는 정사각형이다. 다른 두 꼭지점의 좌표가 (a,b), (c,d) 일 때, 다음 중 옳은 것을 모두 고르면?
   
   

   ㄱ. a=d      ㄴ. b=c     ㄷ. a+d=b

   
   

   ① ㄱ

   ② ㄴ

   ③ ㄱ, ㄴ

   ④ ㄴ, ㄷ

   ⑤ ㄱ, ㄷ

(답) ④

그림에서 a=q, b=p+q, c=p+q, d=p

∴ a+d=b=c ^^




5. A(2,4), B(-1,0), C(2,0) 을 꼭지점으로 하는 삼각형의 내부에 점 P(a,b)를 잡았더니 △PAB, △PAC, △PBC 의 넓이의 비가 1 : 2 : 3 이 되었다. a+b 는?
   
   

   ① 1	② 1.5	③ 2
   ④ 2.5	⑤ 3

(답) ⑤ → 관련사항 참조! ^^

1) (그림1) → 점 Q 는 AB 를 1 : 2 로 내분    ∴ 점 Q(0,0)
2) (그림2) → 점 R 은 AB 를 1 : 3 으로 내분    ∴ R(2,3)
3) AQ 의 방정식 → y=2x …㉠,  BR 의 방정식 → y=x+1 …㉡

㉠, ㉡ 을 연립하면 P(1,2) ^^

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