PROBLEMS 20.0818 All-round check (9-6)

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MathCounts 문제

1. n 의 양의 제곱근과 n-1의 양의 제곱근과의 차가  0.1 보다 작은 최소의 양의 정수 n 은?
   
   

   ① 21

   ② 22

   ③ 23

   ④ 26

   ⑤ 29

(답) ④

1) -< 0.1 의 양변에 10×(+) 을 곱하면 ^^
2) 10{n-(n+1)} < + ⇔ + >10 ← 10 = 5+5 ^^
3) n=25 일 때 → + < 5+5, n=26 일 때 → + > 5+5




2. x 를 넘지 않는 최소의 양의 정수를 [x] 로 나타낼 때, 을 만족하는 모든 정수 n 의 합은?
   
   

   ① -1

   ② 2

   ③ -3

   ④ 4

   ⑤ -5

(답) ③

1) n = 6k+r (r = 0,1,2,3,4,5) 라고 놓으면 ← k 는 정수
2) ⇔ ⇔ 3k+=2k+ ⇔ k+=
3) r=0, 1 일 때 → k=0    ∴ n=0, 1
4) r=2 일 때 → k+1=0, k=-1 → n=-4
5) r=3 일 때 → k+1=1, k=0 → n=3
6) r=4, 5 일 때 → k+2=1, k=-1 → n=-2, -1




3. max(a,b) 는 a, b 중 큰 수를, min(a,b)는 a, b 중 작은 수를 나타낸다.
   A={(x,y)| max(|x|,|y|)≤2}, B={(x,y)| min(|x|,|y|)≤1} 일 때, 다음 중 A∩B 를 나타내는 그림은?
   
   

   ①	②	③
   ④	⑤

(답) ①

1) max(|x|,|y|)≤2 ⇔ 큰 수가 2 보다 작거나 같다. → |x|≤2 이고 |y|≤2
2) min(|x|,|y|)≤1 ⇔ 1보다 작거나 같은 수가 있다.→ |x|≤1 또는 |y|≤1

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4. 다음은 a+b+c==1 을 만족하는 0 이 아닌 수 a, b, c 에 대한 설명이다. 옳은 것은?
   
   ① a, b, c 는 모두 실수 이다.
   ② a, b, c 중 한 개는 실수이고 두 개는 허수이다.
   ③ a, b, c 중 같은 것은 존재하지 않는다.
   ④ a, b, c 중 적어도 하나는 1 이다.
   ⑤ 주어진 식을 만족하는 a, b, c는 존재하지 않는다.

(답) ④

1) a+b+c==1 ⇔ a+b+c=1, ab+bc+ca=abc
2) a, b, c 를 근으로 하는 삼차방정식
    (x-a)(x-b)(x-c)=0 ⇔ x³-(a+b+c)x²+(ab+bc+ca)x-abc=0
3) x³-x²+(abc)x-abc=0 ← a+b+c=1, ab+bc+ca=abc
4) x²(x-1)+abc(x-1)=0 ⇔ (x-1)(x²+abc)=0 ^^




5. 원에 내접하는 팔각형의 연속한 네 변의 길이가 1 이고, 나머지 연속한 네 변의  길이가 이다. 이 팔각형의 넓이는?
   
   

   ① 6	② 7	③ 8
   ④ 9	⑤ 10

(답) ②

1) 변의 순서를 1,, 1,,1, , 1,로 하면 ^^
2) 팔각형의 넓이 = (정사각형 넓이) - (직각삼각형 넓이)×4  
3) S = 9-2 = 7 ^^

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