PROBLEMS 20.0817 All-round check (9-5)

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MathCounts 문제

1. 양의 정수 n 을 7 로 나눈 나머지를 f(n) 이라고 할 때, f(n²) 이 될 수 없는 것은?
   
   

   ① 0

   ② 1

   ③ 2

   ④ 3

   ⑤ 4

(답) ④

1) n = 7k+r (r=0,1,2,3,4,5,6) 이라고 놓으면 ← 여기서 k 는 정수^^
2) n² = 49k²+14kr+r² → r²=0,1,4,9,16,25,36
3) f(0)=0, f(1)=1, f(4)=4, f(9)=2, f(16)=2, f(25)=4, f(36)=1 ^^




2. x²-9x+9=0 의 두 근을 α, β 라고 할 때, 의 값은?
   
   

   ① 2.5

   ② 3

   ③ 3.5

   ④ 4

   ⑤ 4.5

(답) ②

1) α²-9α+9=0 ⇔ 9(α-1)=α², 마찬가지로 9(β-1)=β²
2) 3=α, 3=β ← α+β=9, αβ=9, D>0 이므로 α>0, β>0
3) 3() = α+β    ∴ =3 ^^




3. 점 O의 동쪽 80 m, 북쪽 120 m 지정에 있는 A, B 두 사람이 O 를 향하여 같은 속력으로 걷는다. 몇 m 걸으면 두 사람 사이의 거리가 가장 가까워 지는가?
   
   

   ① 80 m	② 90 m	③ 100 m
   ④ 110 m	⑤ 120 m

(답) ③

1) AB² = (80-x)²+(120-x)² ← x m 걸었다고 할 때…^^
2) AB² = 2x²-400x+80²+120² = 2(x-100)²-100²+80²+120²

∴ x=100 일 때, AB² 은 최소^^




4. y=x²+a 과 y=2bx 의 그래프가 점 P 에서 접한다. 점 P 의 자취의 방정식은?
   
   

   ① y = x2	② y = 2x2	③ y = 3x2
   ④ y = x2+1	⑤ y = x2+2

(답) ②

1) x²+a = 2bx ← y=x²+a, y=2bx 의 교점의 x 좌표를 구하는 방정식
2) x²-2bx+a=0 → D/4 = b²-a=0 에서 a=b²
3) x²-2bx+a=0 ⇔ x²-2bx+b²=0 ⇔ (x-b)²=0 에서 x=b
4) x=b, y=2b² → 접점 P(b,2b²)
5) b=X, 2b²=Y 라고 놓으면 Y=2X²    ∴ P 의 자취의 방정식은 y=2x² ^^




5. 반지름 4 인 원이 삼각형에 내접하고 있다. 삼각형의 한 변이 접점에 의해 길이 6, 8 인 두 선분으로 나누어질 때, 삼각형의 세 변 중 길이가 최소인 것은? [AHSME]
   
   

   ① 12	② 13	③ 14
   ④ 15	⑤ 16

(답) ②

1) 삼각형의 세 변의 길이의 합을 2s 라고 하면
2) 2s=2(6+8+a) → s=14+a
3) 삼각형의 넓이 S=rs → S=4(14+a) …㉠
4) 넓이 S²=(14+a)×a×8×6 …㉡ ← Heron의 공식

㉠, ㉡ 에서 16(14+a)²=48a(14+a) → 14+a=3a    ∴ a=7

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