PROBLEMS 20.0816 All-round check (9-4)

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MathCounts 문제

1. 그림과 같이 선분 AB 를 3등분하는 점을 P, Q 라고 할 때, OP 와 OQ 의 기울기의 비는?
   
   

   ① 3 : 2	② 2 : 1	③ 3 : 1
   ④ 4 : 1	⑤ 경우에 따라 다르다.

(답) ④

1) A(3a,0), B(0,3b) 라고 놓으면 → P(a,2b), Q(2a,b)
2) OP의 기울기 = 2b/a, OQ의 기울기 = b/2a    ∴ 기울기의 비 = 4 : 1 ^^




2. 이차함수 x²+2a|x|+1 의 최소값을 f(a) 라고 할 때, f(a)의 그래프의 개형은?
   
   

   ①	②	③
   ④	⑤

(답) ①

x²+2a|x|+1=(|x|+a)²-a²+1 에서 |x|≥0 이므로 …

i) a≥0 이면 → x=0 일 때 최소이고 최소값 f(a)=1
ii) a<0 이면 → |x|=-a 일 때 최소이고 최소값 f(a)=-a²+1 ^^





3. 사다리꼴 ABCD의 대각선의 중점을 M, N 이라고 한다. BC=15, MN=3 일 때, AD는?
   
   

   ① 8

   ② 9

   ③ 10

   ④ 11

   ⑤ 12

(답) ②

1) AD=2x 라고 놓으면
2) M'M=NN'=3 ← 중점 연결 정리
3) 삼각형 ABC 에서 BC=2M'N

∴ (x+3)×2=15 → 2x=9 ^^




4. 두 자리 정수 AB 는 각자리 숫자의 합 A+B 의 k 배이다. 두 자리 정수 BA는 A+B 의 몇 배인가? [AHSME]
   
   

   ① 9-k 배

   ② 10-k 배

   ③ 11-k 배

   ④ k-1 배

   ⑤ k+1 배

(답) ③

1) 10A+B = k(A+B) …㉠
2) 10B+A =n(A+B) …㉡
3) ㉠ + ㉡ : 11(A+B) = (k+n)(A+B) → 11=k+n    ∴ n = 11-k ^^




5. ab=c 를 만족하는 연속한 세 정수 a, b, c 가 있다. D=a²+b²+c² 라고 할 때, 에 대한 다음 설명 중 옳은 것은? [AHSME]
   
   ① 항상 짝수이다.
   ② 홀수가 아닐 때도 있다.
   ③ 항상 홀수 이다.
   ④ 유리수가 아닐 때도 있다.
   ⑤ 항상 무리수이다.

(답) ③

1) b=a+1 이라고 하면 → a(a+1)=c
2) D=a²+b²+a²(a+1)² = a⁴+2a³+3a²+2a+1 = (a²+a+1)²    ☞ 관련사항을 참조하세요! ^^
3) = a²+a+1 = a(a+1)+1 ^^  ← a(a+1) 은 항상 짝수

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