PROBLEMS 20.0815 All-round check (9-3)

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MathCounts 문제

1. 이차방정식 x²+3ax+100 = 0 의 두 허근의 실수부와 허수부가 모두 정수가 되도록 하는 정수 a 의 최대값은?
   
   

   ① 2

   ② 4

   ③ 6

   ④ 8

   ⑤ 10

(답) ②

1) 두 근을 p+qi, p-qi 라고 하면 ← 켤레근 정리 ^^
2) 근과 계수의 관계 → 2p=-3a, p²+q²=100
3) 2p=-3a 에서 a 는 정수이므로 p 는 3의 배수
4) p²+q²=100 를 만족하는 3의 배수는 p=±6 → p=-6 일 때 a=4 ^^





2. 모든 x 에 대하여 (fof)(x) = {f(x)}² 을 만족하는 함수 f 는 몇 개 존재?
   
   

   ① 1 개	② 2 개	③ 3 개
   ④ 4 개 이상	⑤ 존재하지 않는다

(답) ③

 f(f(x))={f(x)}² ← (fof)(x) =f(f(x)) ^^

    i) f(x)가 상수함수가 아닐 때 →  f(f(x))={f(x)}² → f(X)=X² → f(x)=x²
    ii) f(x)가 상수함수 일 때 → f(x)=a 라고 놓으면 f(f(x))=a
       a=a² 에서 a=0 또는 a=1

∴ f(x) = 0, 1, x² ^^




3. f(x) 의 그래프가 그림과 같을 때, 다음 중 (fof)(x) 의 그래프의 일부가 될 수 있는 그림은?
   
   

   ①	②
   ③	④
   ⑤

(답) ④

1) f(x)=1 (x≥1), f(x)=x (0≤x≤1), f(x)=-x (x≤0) 이므로
2) f(f(x))=1 (f(x)≥1), f(f(x))=f(x) (0≤f(x)≤1), f(f(x))=-f(x) (f(x)≤0)
    ☞ f(x)≤0 인 경우는 없습니다.^^
3) (fof)(x)=1 (x≤-1), (fof)(x)=f(x) (x≥-1) → x≥-1 일 때 fof 와 f 의 그래프는 동일^^




4. 실계수 삼차방정식 x³+ax²+bx+c=0 이 한 개의 실근과 두 개의 순허수 근을 갖도록 하는 조건은?
   
   

   ① ab>c	② ab=c	③ ab<c
   ④ ab=c, a>0	⑤ ab=c, b<0

(답) ⑤

1) m<0 일 때 (x²+m)(x+n)=0 → 두 개의 순허수 근과 한 개의 실근
2) x³+nx²+mx+mn=0 ⇔ x³+ax²+bx+c=0 → ab=c, b<0 ^^

☞ 관련사항을 참조하세요! ^^




5. 그림은 가로 세로가 각각 4, 3 단위 길이인 직사각형과 네 변이 직사각형의 변위에 있는 등각 8각형을 나타낸 것이다. 등각 8각형의 넓이의 최소 정수값은? (등각 8각형 : 내각의 크기가 모두 같은 8각형)
   
   

   ① 3

   ② 4

   ③ 5

   ④ 6

   ⑤ 7

(답) ② → 그림참조 ^^

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