PROBLEMS 20.0814 All-round check (9-2)

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MathCounts 문제

1. 성냥개비를 늘어놓아 그림과 같이 육각형이 일렬로 늘어선 도형을 만든다. 100 개의 성냥개비로 육각형을 되도록 많이 만들 때, 남는 성냥개비의 개수는?
   
   

   ① 0 개	② 1 개	③ 2 개
   ④ 3 개	⑤ 4 개

(답) ⑤

1) n 개의 6 각형이 있는 도형이 될 때 성냥개비의 개수 → 2n+2n+(n+1) = 5n+1 개
2) 100 = 5×20 = 5×19 + 5 ^^




2. 방정식 2x²-3xy+y²+y+a=0 은 점 (b,c) 에서 교차하는 두 직선이다. 이 때, a+b+c 는?
   
   

   ① -1

   ② 3

   ③ -5

   ④ 7

   ⑤ -9

(답) ⑤

1) 2x²-3xy+y² = (2x-y)(x-y) 이므로 …
2) 2x²-3xy+y²+y+a = (2x-y+m)(x-y+n) 와 같이 인수분해 됩니다. ^^
3) 위에서, 우변 → 2x²-3xy+y²+(m+2n)x-(m+n)y+mn
4) m+2n=0, m+n=1 → m=2, n=-1    ∴ a=-2
5) 2x-y+2=0, x-y-1=0 의 교점 → (-3,-4)    ☞ 관련사항을 참조하세요! ^^




3. 양의 정수 n 에 대하여 함수 f 를 다음과 같이 정의할 때, f(6)+f(8) 은?
   
   
   

   ① 100

   ② 101

   ③ 102

   ④ 103

   ⑤ 104

(답) ①

1)
2) f(n)=k² (k>0) 라고 놓으면 → f(n+1)=(k+1)²
3) f(1)=1² 이므로 f(2)=2², f(3)=3², …    ∴  f(n)=n² → f(6)+f(8) = 36 + 64 = 100 ^^ 




4. x≥0, y≥0, x+y=1 일 때, x²+2xy+3y² 의 최대값을 M, 최소값을 m 이라 할 때, M+m 은?
   
   

   ① 2

   ② 2.5

   ③ 3

   ④ 3.5

   ⑤ 4

(답) ③

1) x²+2xy+3y² = (x+y)²+2y² = 1+2y²
2) x≥0, y≥0, x+y=1 → 0≤y≤1
3) y=0 일 때 → 최소값 m=1
4) y=1 일 때 → 최대값 M=2




5. 그림과 같이 반원에 내접하는 두 정사각형의 넓이의 비는?
   
   

   ① 3 : 1	② 4 : 1	③ 5 : 1
   ④ 5 : 2	⑤ 7 : 3

(답) ②

1) OA=1 라고 하면 → OP² = 1²+2² = 5
2) AB=x 라고 하면 → OQ² = (1+x)²+x²
3) OP=OQ 이므로 → (1+x)²+x² = 5
4) 2x²+2x-4=0 → x²+x-2=0 ⇔ (x+2)(x-1)=2 → x=1
5) 정사각형의 변의 비 = 2 : 1 → 넓이의 비 = 4 : 1 ^^

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