PROBLEMS 20.0813 All-round check (9-1)

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MathCounts 문제

1. (a+b)(a+b+c)=4, (b+c)(a+b+c)=8, (c+a)(a+b+c)=20 일 때, a²+b²+c² 은?
   
   

   ① 14

   ② 15

   ③ 16

   ④ 17

   ⑤ 18

(답) ①

1) (a+b) : (b+c) : (c+a) = 1 : 2 : 5 → a+b=k …㉠, b+c=2k …㉡, c+a=5k …㉢
2) ㉠, ㉡, ㉢ 을 변끼리 더하면 2(a+b+c)=8k → a+b+c=4k …㉣
3) ㉠, ㉣ 에서 c=3k 이고 …, b=-k, a=2k 이므로 a²+b²+c²=14k²
3) (a+b)(a+b+c)=4 에서 4k²=4 → k²=1    ∴ a²+b²+c²=14^^





2. A, B 두 지점 사이를 4 시간에 운행하는 여객열차와 11 시간에 운행하는 화물열차가 있다. A, B 지점에서 두 열차가 서로 마주보고 동시에 출발하면 두 열차는 몇 시간 몇 분 후에 만나는가?
   
   

   ① 2시간 50분	② 2시간 52분	③ 2시간 54분
   ④ 2시간 56분	⑤ 2시간 58분

(답) ④

1) A, B 사이의 거리를 L, 여객열차의 속력을 u, 화물열차의 속력을 v 라고 하면 → 4u = 11v = L
2) 두 열차가 만날 때 까지의 시간을 T 라고 하면 → uT+vT=L ⇔ (u+v)T = L …㉠
3) u = L/4, v = L/11 를 ㉠ 에 대입하면 (1/4+1/11)T=1
4) (1/4+1/11)T=1 양변에 44 를 곱하면 → (11+4)T=44 ⇔ T=44/15 ⇔ T=3 - 1/15 (시간) ^^





3. 중심이 (0,3), 반지름이 3 인 원 C₁ 과 중심이 (4,0), 반지름이 4 인 원 C₂ 가 있다. C₁, C₂ 의 교점과 C₂ 의 중심을 지나는 원의 반지름의 길이는?
   
   

   ① 2	② 2.5	③ 3
   ④ 3.5	⑤ 4

(답) ②

1) 그림에서 원의 중심은 AB의 중점
2) AB=5 이므로 반지름은 2.5 ^^






4. x 에 대한 방정식 log_ax+log_bx=log_axlog_bx 이 오직 한 개의 실근을 갖도록 1 이 아닌 양수 a, b 의 조건을 정할 때, a+b 의 값이 될 수 있는 것은?
   
   

   ① 1.7

   ② 1.8

   ③ 1.9

   ④ 2.0

   ⑤ 2.1

(답) ⑤

1) x=1 이면 좌변=우변=0
2) log_ax+log_bx=log_axlog_bx 의 양변을 log_axlog_bx (x≠1) 로 나누면
3) 1/log_bx +1/log_ax = 1 ⇔ log_xb + log_xa = 1 ⇔ log_xab=1 ⇔ x=ab
4) 방정식의 근이 오직 한 개 이므로 → ab=1
5) 산술평균≥기하평균 → a+b≥2(등호는 a=b 일 때 성립)
6) a≠b 이므로 a+b>2 ^^ ← a=b(=1) 이면 로그가 정의 되지 않음.    ☞ 관련사항 참조! ^^  




5. 그림의 어두운 부분은 정사각형에서 4 개의 직각이등변 삼각형을 잘라내고 남은 직사각형을 나타낸다. 잘라낸 부분의 넓이의 합이 200 일 때, 직사각형의 대각선의 길이는?
   
   

   ① 19	② 20	③ 21
   ④ 22	⑤ 23

(답) ②

1) 그림에서 잘라낸 부분의 넓이 → a²+b²=200
2) PQ²=2a², PR²=2b²
3) QR²=PQ²+PR² → QR²=2(a²+b²)=400 ^^

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