PROBLEMS 20.0812 All-round check (8-7)

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MathCounts 문제

1. 다음 중 자연수의 제곱의 차 a²-b² 의 꼴로 나타낼 수 없는 수는?
   
   

   ① 2000	② 2001	③ 2002
   ④ 2003	⑤ 2004

(답) ③

1) a=b+n 이라고 놓으면
2) a²-b²=(b+n)²-b²=2bn+n²
    i) n=2k → a²-b²=4bk+4k²=4(bk+k²) → 4의 배수
    ii) n=2k+1 → a²-b²=2b(2k+1)+(2k+1)²=4bk+2b+4k²+4k+1=4(bk+k²+k)+(2b+1)
3) 2b+1 는 홀수 → 4 로 나누면 1 또는 3 이 남는 수 입니다.^^




2. 연속한 세 홀수를 곱하고 5 배 하였더니 ABABAB 꼴의 여섯 자리 자연수가 되었다. 연속한 세 홀수의 합은?
   
   

   ① 105

   ② 111

   ③ 117

   ④ 123

   ⑤ 129

(답) ②

1) 여섯 자리 자연수 ABABAB → (10A+b)10⁴ + (10A+B)10² + (10A+B)
2) (10A+B)(10⁴+10²+1)=(10A+B)(10²+10+1)(10²-10+1) ← x⁴+x²+1=(x²+x+1)(x²-x+1)
3) (10A+B)×111×91=(10A+B)×(3×37)×(7×13)=(10A+B)×7×37×39
4) 10A+B=25 일 때→ 5×(35×37×39) =252525 ^^




3. 방정식 x³+x-1=0 의 한 근 α 에 대하여 (α²+α+1)f(α)=1 을 만족하는 2차 다항식을
   f(x)=ax²+bx+c 라고 할 때, a+b+c 는?
   
   

   ① 1

   ② -2

   ③ 3

   ④ -4

   ⑤ 5

(답) ①

1) x³+x-1=0 의 한 근 α → α³+α-1=0 …㉠
2) (α²+α+1)f(α)=1 의 양변에 α-1을 곱하면 (α³-1)f(α)=α-1
3) ㉠ 에서 α³-1=-α, α-1=-α³ 이므로 -αf(α)=-α³    ∴ f(α)=α²

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4. 두 직선 y=x+a, y=ax+1 의 공유점이 원점을 중심으로 하는 반지름이 2 인 원의 내부에 존재하도록 a의 범위를 정하면 α<a<β 이다. α+β 는?
   
   

   ① 1

   ② -2

   ③ 3

   ④ -4

   ⑤ 5

(답) ②

1) y=x+a, y=ax+1 을 연립 → x+a=ax+1 ⇔ (1-a)x=1-a
2) a=1 이면 두 직선이 일치하므로 공유점은 원의 외부에도 존재 ∴ a≠1
3) x=1, y=1+a 이므로 교점은 (1,1+a)
4) (1,1+a) 가 원의 내부 {(x,y)| x²+y²<4}에 존재 → 1²+(1+a)²<4 ⇔ a²+2a-2<0
5) a²+2a-2=(a-α)(a-β) → α+β=-2 ^^




5. 삼각형 ABC를 그림과 같이 세 개의 삼각형과 한 개의 사각형으로 나누었다. 삼각형의 넓이가 각각 1, 2, 3 일 때 사각형의 넓이는?
   
   

   ① 18	② 20	③ 22
   ④ 24	⑤ 26

(답) ④

1) 그림에서 (3+a) : b = 2 : 1, (1+b) : a = 2 : 3
2) 3+a=2b, 3(1+b)=2a 에서 a 를 소거 → 3(1+b)=2(2b-3)
3) b=9, a=15 이므로 a+b=24 ^^

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