PROBLEMS 20.0811 All-round check (8-6)

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MathCounts 문제

1. 일정한 속력으로 올라가는 에스컬레이터가 있다. 이 에스컬레이터 위를 속력 2m/초 로 걸어 올라가면 10 초 걸리고, 같은 속력으로 걸어 내려오면 15 초 걸린다. 이 에스컬레이터의 길이는?
   
   

   ① 24 m

   ② 25 m

   ③ 30 m

   ④ 35 m

   ⑤ 40 m

(답) ①

1) 에스컬레이터의 속력을 V, 길이를 L 이라고 하면
2) 걸어 올라갈 때 → 2×10 = L - V×10 …㉠
3) 걸어 내려올 때 → 2×15 = L + V×15 …㉡
4) ㉡-㉠ → 10 = 25V → V = 2/5 → ㉠ 에 대입하면 L=24 ^^




2. 그림의 어두운 두 부분의 넓이가 각각 1, 4 일 때, 사각형 ABCD 의 넓이의 최소값은?
   
   

   ① 6	② 7	③ 8
   ④ 9	⑤ 10

(답) ④

1) BP : PD = 1 : a = b : 4 → ab=4
2) 사각형 ABCD 의 넓이 = 5 + a+b
3) a+b≥2→ a+b≥4    ∴ 넓이의 최소값= 5+4 = 9 ^^

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3. sinA = sinθcosC, sinB = cosθcosC 일 때, cos²A+cos²B+cos²C 는?
   
   

   ① 1

   ② 2

   ③ 3

   ④ sin2θ

   ⑤ cos2θ

(답) ②

1) sinA = sinθcosC 의 양변을 제곱 → sin²A = sin²θcos²C …㉠
2) sinB = cosθcosC 의 양변을 제곱 → sin²B = cos²θcos²C …㉡
3) ㉠, ㉡ 을 변 끼리 더하면 → sin²A + sin²B = (cos²θ+sin²θ)cos²C
4) sin²A + sin²B = cos²C ← cos²θ+sin²θ=1
5) (1-cos²A)+(1-cos²B) = cos²C → cos²A+cos²B+cos²C = 2 ^^




4. 점 A(-2,0) 과 원 x²+y²=1 위를 움직이는 점 P 가 있다. AP² = 6 일 때, OP 의 기울기의 제곱은?
   
   

   ① 12	② 13	③ 14
   ④ 15	⑤ 16

(답) ④

1) P(a,am) 이라고 놓으면 OP의 기울기=m
2) P(a,am) 는 x²+y²=1위의 점 → a²+(am)²=1 …㉠
3) AP2=6 → (a+2)²+(am)²=6 …㉡
4) ㉠, ㉡ 에서 (am)² 을 소거 → (a+2)²+(1-a²)=6 → 4a+5=6 → a=1/4
5) a=1/4 을 ㉠ 에 대입하면 → 1/16 + 1/16 m² = 1 → m²=15 ^^




5. log₈a + log₄b² = 5, log₈b + log₄a² = 7 일 때, log₂(ab) 는?
   
   

   ① 1

   ② 3

   ③ 5

   ④ 7

   ⑤ 9

(답) ⑤

1) log₈a + log₄b² =5, log₈b + log₄a² = 7 을 변끼리 더하면
2) log₈ab +2log₄ab = 12 ←
3) log₂ab + log₂ab = 12 → 4log₂ab = 36    ∴ log₂ab = 9 ^^

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