PROBLEMS 20.0810 All-round check (8-5)

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MathCounts 문제

1. x=, y=, z= 의 대소관계를 바르게 나타낸 것은?
   
   

   ① x>y>z

   ② x>z>y

   ③ y>z>x

   ④ z>x>y

   ⑤ z>y>x

(답) ①

1) x=1-, y=1-=1-, z=1-=1-
2) 112 > 111.5 > 111.3… 이므로 x>y>z ^^




2. x²-99x+101=0 의 두 근을 α, β 라고 할 때, (α²+α+1)(β²+β+1) 의 값은?
   
   

   ① 104

   ② 2×104

   ③ 3×104

   ④ 104+102

   ⑤ 104-102

(답) ③

1) α²-99α+101=0 → α²=99α-101, 마찬가지로 β²=99β-101
2) 준식=(100α-100)(100β-100)=10⁴(α-1)(β-1)=10⁴(αβ-α-β+1)
3) α+β=99, αβ=101 이므로 αβ-α-β+1=101-99+1=3    ∴ (α²+α+1)(β²+β+1)=3×10⁴ ^^




3. 원 x²+y²=4 를 현 AB를 접는 선으로 접었더니 호 AB 가 점 (1,0) 에서 x 축에 접하였다. 직선 AB의 방정식을 2x+ay+b=0 으로 나타낼 때, a+b 는?
   
   

   ① 2	② 3	③ 4
   ④ 5	⑤ 6

(답) ②

1) 호 ACB 를 포함하고 x 축에 접하는 원
    중심(1,2), 반지름=2 → (x-1)²+(y-2)²=4
2) AB 는 두 원의 교점을 지나는 직선
3) (x²+y²-4)-(x²+y²-2x-4y+1)=0 → 2x+4y-1=0 ^^

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4. a(x-1)>1, ax(x-1)>1 을 동시에 만족하는 x 가 존재할 조건은?
   
   

   ① a≠0

   ② a>0

   ③ a<-4

   ④ -4<a<0

   ⑤ a>0, a<-4

(답) ⑤

1) a=0 이면 두 식을 만족하는 x 가 존재하지 않음. → a≠0
2) y=a(x-1)-1…㉠, y=ax(x-1)-1…㉡ 이라고 놓고 연립
3) a(x-1)-1=ax(x-1)-1⇔ ax(x-1)-a(x-1)=0 ⇔ a(x-1)²=0
4) x=1 이 이중근 → ㉠, ㉡ 는 점 (1,-1) 에서 접합니다.^^

i) a>0 일 때 → 부등식을 동시에 만족하는 x 가 존재 (그림1)
ii) a<0 일 때 → y=ax²-ax-1 의 D>0, a(a+4)>0 → a<-4 (그림2)

i), ii) 에서 a>0 또는 a<-4 ^^





5. 대각선이 직교하는 사각형 ABCD 가 있다. AB=8, BC=7, CD=1 일때, AD 는?
   
   

   ① 2	② 3	③ 4
   ④ 5	⑤ 6

(답) ③

1) 대각선의 교점을 O
2) OA=a, OB=b, OC=c, OD=d 라고 하면
3) AB²+CD²=(a²+b²)+(c²+d²)
4) BC²+DA²=(b²+c²)+(d²+a²)

∴ 8²+1² = 7² +x² ⇔ x²=65-49 = 4² ^^

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