PROBLEMS 20.0807 All-round check (8-2)

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MathCounts 문제

1. 그림과 같은 접시저울에 무게 1g, 2g, 8g 인 추가 각각 1개 씩 있다. 추를 양쪽 접시에 놓을 수 있다고 할 때, 이것으로 측정할 수 있는 무게는 몇 가지인가?
   
   

   ① 7

   ② 8

   ③ 9

   ④ 10

   ⑤ 11

(답) ④

1g, 2g, 3g, 5g, 6g, 7g, 8g, 9g, 10g, 11g ^^




2. |x-1|+|x-2|<ax 를 만족하는 정수 x 가 3 개만 존재하도록 a 의 범위를 정할 때, a 의 최대값은?
   
   

   ① 1.25

   ② 1.5

   ③ 2

   ④ 2.5

   ⑤ 3

   　

(답) ①

1) y=ax 와 y=|x-1|+|x-2|그래프를 생각합니다. ^^
2) y=|x-1|+|x-2| 의 꺽인 점은 (1,1), (2,1)
3) 1<a≤이면 부등식을 만족하는 정수 x 가 3 개 존재.^^




3. 점 (2,1)을 지나고 x, y 축에 접하는 원은 두 개있다. 이 두 원의 중심을 P, Q 라고 할 때, PQ² 은?
   
   

   ① 10

   ② 11

   ③ 12

   ④ 13

   ⑤ 14

(답) ①

1) x, y 축에 동시에 접하는 원의 방정식 → (x-a)²+(y-a)²=a²    ☞ 관련사항 참조! ^^
2) (2,1) 을 대입하면 (2-a)²+(1-a)²=a² → a²-5a+5=0 …㉠
3) ㉠ 의 두 근을 a₁, a₂ 라고 하면 두 원의 중심은 P(a₁,a₁), Q(a₂,a₂)
4) PQ² = (a₁-a₂)²+(a₁-a₂)² = 2(a₁-a₂)²
5) ㉠ 의 두 근이 a₁, a₂ 이므로 a₁+a₂=5, a₁a₂=5 ← 근과 계수의 관계 ^^
6) (a₁-a₂)² = (a₁+a₂)²-4a₁a₂ = 5²-20 = 5    ∴ PQ² = 10




4. 1 이 아닌 양수 a, b, c 가 를 만족할 때, 다음 중 옳은 관계식은?
   
   

   ① a+b+c=2	② abc=2	③ a2+b2=c2
   ④ a=b=c	⑤ ab=c2

(답) ⑤

1) ⇔ log_ca + log_cb = 2 ← 밑 변환 공식^^
2) log_cab=2 ⇔ ab=c² ← a^m=b ⇔ log_ab=m




5. 정삼각형 ABC의 내부에 한 점 P 가 있다. PA=6, PB=8, PC=10 일 때, 삼각형 ABC의 넓이에 가장 가까운 값은? [AHSME]
   
   

   ① 159	② 131	③ 95
   ④ 79	⑤ 50

(답) ④

1) △APB≡△APD, △BPC≡△BEC, △APC≡△AFC
2) 어둡게 표시한 각 → 120°
3) △ADF∽△BDE∽△CEF → 3 : 4 : 5
4) △DEF 는 직각삼각형
5) △ADF = ×6×6×sin120°=9
6) △BDE = 16, △CEF = 25
7) DF=6, DE=8 → △DEF=72





∴ △ABC 의 넓이 = (50+72)÷2 = 25+36 = 79.3012… ^^

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