PROBLEMS 20.0806 All-round check (8-1)

문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

20.0805 보기

관련사항 보기

MathCounts 문제

1. 계수가 정수인 이차 이상의 다항식 f(x) 를 x-1, x-3 로 나눌 때의 나머지가 5 로 같다. 다음 중 f(7) 이 될 수 있는 것은?
   
   

   ① 25

   ② 26

   ③ 27

   ④ 28

   ⑤ 29

(답) ⑤

1) f(1)=5, f(3)=5 ⇔ f(1)-5=0, f(3)-5=0 → f(x)-5 는 x-1, x-3 으로 나누어 떨어집니다.^^
2) f(x)-5=(x-1)(x-3)Q(x) ⇔ f(x)=(x-1)(x-3)Q(x)+5
3) f(7)=6×4×Q(7)+5 ⇔ f(7)=24Q(7)+5 → 24 로 나누면 5 가 남는 수입니다.^^




2. x²+7x+1=0 의 두 근이 α, β 일 때, 를 구하면?
   
   

   ① -i

   ② 2i

   ③ -3i

   ④ 4i

   ⑤ -5i

(답) ③

1) α+β=-7, αβ=1 이고 D>0 → α<0 이고 β<0
2) =(+) ← ()²=α, ()²=β
3) =-=-1 ← α<0, β<0 일 때, =-
4) (+)²=α+β+2=-9 에서 +=3i   ☞ 관련사항을 참조하세요! ^^




3. 포물선 y=x² 과 직선 y=x+a 이 두 점 P, Q 에서 만난다. PQ=2 일 때, a는?
   
   

   ① 0.2	② 0.25	③ 0.5
   ④ 1	⑤ 2

(답) ③

1) x²=x+a ⇔ x²-x-a=0 의 두 근을 α, β 라고 하면
2) α+β=1, αβ=-a 이고 그림에서 |α-β|=
3) (α-β)²=2 ⇔ (α+β)²-4αβ=2 ⇔ 1²+4a=2    ∴ a=1/4 ^^

☞ 어둡게 보이는 삼각형은 직각이등변 삼각형 ^^




4. 실수 x, y 가 (x-4)²+(y-3)²=1 을 만족할 때, x²+y² 의 최대값은?
   
   

   ① 33

   ② 34

   ③ 35

   ④ 36

   ⑤ 37

(답) ④

1) (x-4)²+(y-3)²=1 → 중심이 (4,3) 이고 반지름=1 인 원
2) 원둘레 위의 점을 P(x,y) 라고 하면 OP² = x²+y²
3) OP 가 최대일 때, x²+y² 은 최대
4) 그림에서 P 가 P₀ 에 OP 는 최대 이고 OP₀ = 5+1 = 6

∴ x²+y² 의 최대값 → OP₀² = 36 ^^




5. 볼록사각형 ABCD의 대각선의 교점을 O 라고 한다. △OAB, △OBC, △OCD의 넓이가 차례로 36, 27, 42 일 때, △OAD 의 넓이는?
   
   

   ① 56	② 57	③ 58
   ④ 59	⑤ 60

(답) ①

1) △OAB : △OBC = 4 : 3 → OA : OC = 4 : 3
2) OA : OC = 4 : 3 → △OAD : △OCD = 4 : 3

∴ △OAD = △OCD × 4/3 = 42 × 4/3 = 56 ^^

☞ 검색할 때, shift 키를 누르시고 항목을 누르시면 현재화면을 빠져 나가실 수 있습니다.^^

엠파스 에서 관련사항 찾아보기